значение
Наибольшее
значение
Наименьшее
Точка максимума
Точка минимума
Задачи на нахождение точек экстремумафункции решаются по стандартной схеме в 3 шага.
Шаг 1 . Найдите производную функции
- Запомнитеформулы производной элементарных функции и основные правила дифференцирования, чтобы найти производную.
y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.
Шаг 2 . Найдите нули производной
- Решите полученное уравнение, чтобы найти нули производной.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
Шаг 3 . Найдите точки экстремума
- Используйте метод интервалов, чтобы определить знаки производной;
- В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, а вточке максимума – с плюса на минус.
Применим этот подход, чтобы решить следующую задачу:
Найдите точку максимума функции y=x3−243x+19.
1) Найдем производную: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) Решим уравнение y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) Производная положительная при x>9 и x<−9 и отрицательная при −9 Как искать наибольшее и наименьшее значение функции
Для решения задачи на поиск наибольших и наименьших значений функциинеобходимо
: Во многих задачах помогаеттеорема
: Если на отрезке только одна точка экстремума, причем это точка минимума, то в ней достигается наименьшее значение функции. Если это точка максимума, то в ней достигается наибольшее значение. 14. Понятие и основные свойств неопределённого интеграла. Если функция f
(x
X
, и k
– число, то Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.
Если функции f
(x
) и g
(x
) имеют первообразные на промежутке X
, то Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.
Если функция f
(x
) имеет первообразную на промежутке X
, то для внутренних точек этого промежутка: Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.
Если функция f
(x
) непрерывна на промежутке X
и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то: Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.
Дадим строгое математическое определение понятия неопределенного интеграла
. Выражение вида называется интегралом от функции f(x)
, где f(x)
- подынтегральная функция, которая задается (известная), dx
- дифференциал x
, с символом всегда присутствует dx
. Определение.
Неопределенным интегралом
называется функция F(x) + C
, содержащая произвольное постоянное C
, дифференциал которой равенподынтегральному
выражению f(x)dx
, т.е. Напомним, что -дифференциал функции
и определяется следующим образом: Задача нахождения неопределенного интеграла
заключается в нахождении такой функции, производная
которой равняется подынтегральному выражению. Данная функция определяется с точностью до постоянной, т.к. производная от постоянной равняется нулю. Например, известно, что , тогда получается, что Задача нахождение неопределенного интеграла
от функций не столь простая и легкая, как кажется на первый взгляд. Во многих случаях должен быть навык работы снеопределенными интегралами,
должен быть опыт, который приходит с практикой и с постоянным решением примеров на неопределенные интегралы.
Стоит учитывать тот факт, что неопределенные интегралы
от некоторых функций (их достаточно много) не берутся в элементарных функциях. 15.Таблица основных неопределённых интегралов. Основные формулы
16. Определённый интеграл как предел интегральной суммы. Геометрический и физический смыл интеграла. Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия. 1. С помощью точек х 0 =а, x 1, х 2, ..., х n = В (х 0 2. В каждом частичном отрезке , i = 1,2,...,n выберем произвольную точку с i є и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(с i). 3. Умножим найденное значение функции ƒ (с i) на длину ∆x i =x i -x i-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (с i) ∆х i. 4. Составим сумму S n всех таких произведений: Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка:λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n → ∞ так, что λ→0. Если при этом интегральная сумма S n имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b] и обозначается Таким образом, Числа а и b называются соответственна нижним и верхним пределами интегрирования, ƒ(х) - подынтегральной функцией, ƒ(х) dx - подынтегральным выражением, х - переменной интегрирования, отрезок [а; b] - областью (отрезком) интегрирования. Функция у=ƒ(х), для которой на отрезке [а; b] существует определенный интеграл называется интегрируемой на этом отрезке. Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла. Теорема 35.1 (Коши). Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то определенный интеграл Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва. Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения (35.2). 1. Определенный интеграл не зависим от обозначения переменной интегрирования: Это следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следовательно, и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции. 2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: 3. Для любого действительного числа с. 17. Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла. Пусть функция y = f(x)
непрерывна на отрезке
и F(x)
- одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница
: Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления
. Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом. Если функция y = f(x)
непрерывна на отрезке
, то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию Действительно, запишем приращение функции , соответствующее приращению аргумента и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства: Перепишем это равенство в виде Вычислим F(a)
, используя первое свойство определенного интеграла: Приращение функции принято обозначать как Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразных y=F(x)
подынтегральной функции y=f(x)
на отрезке
и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье методы интегрирования разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения. Пример.
Вычислить значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Решение.
Для начала отметим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке
, следовательно, интегрируема на нем. (Об интегрируемых функциях мы говорили в разделе функции, для которых существует определенный интеграл). Из таблицы неопределенных интегралов видно, что для функции множество первообразных для всех действительных значений аргумента (следовательно, и для ) записывается как Теперь осталось воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: 18. Геометрические приложения определенного интеграла. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление объема тела Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений: Объем тела вращения: ; . Пример 1
. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y=sinx, прямыми Решение:
Находим площадь фигуры: Пример 2
. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Решение:
Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений Отсюда находим x 1 =0, x 2 =2,5.
19. Понятие дифференциальных управлений. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциа́льное уравне́ние
- уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, Дифференциальные уравнения в частных производных
(УРЧП) - это уравнения, содержащие неизвестныефункции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде: где - независимые переменные, а - функция этих переменных. Порядок уравнений в частных производных может определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ещё одной важной классификацией уравнений в частных производных является их разделение на уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа, в особенности для уравнений второго порядка. Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить налинейные
и нелинейные
. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения n
-го порядка: где p i
(x
) - известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция r
(x
) в правой части называется свободным членом
(единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции) Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
. Подклассом линейных уравнений являются однородные
дифференциальные уравнения - уравнения, которые не содержат свободного члена: r
(x
) = 0. Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными
дифференциальными уравнениями. Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, линейное уравнение гармонического осциллятора · - однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением является семейство функций , где и - произвольные константы, которые для конкретного решения определяются из задаваемых отдельно начальных условий. Это уравнение, в частности, описывает движение гармонического осциллятора с циклической частотой 3. · Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения · Дифференциальное уравнение Бесселя - обыкновенное линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами: Его решениями являются функции Бесселя. · Пример неоднородного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка: В следующей группе примеров неизвестная функция u
зависит от двух переменных x
и t
или x
и y
. · Однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка: · Одномерное волновое уравнение - однородное линейное уравнение в частных производных гиперболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами, описывает колебание струны, если - отклонение струны в точке с координатой x
в момент времени t
, а параметр a
задаёт свойства струны: · Уравнение Лапласа в двумерном пространстве - однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа с постоянными коэффициентами, возникающее во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики: · Уравнение Кортевега - де Фриза, нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка, описывающее стационарные нелинейные волны, в том числе солитоны: 20. Дифференциальные уравнения с разделяющимся применимыми. Линейные уравнения и метод Бернулли. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид В этой статье мы рассмотрим несколько примеров на нахождение точек максимума (минимума) иррациональной функции. Алгоритм решения был уже неоднократно изложен в статьях с подобными заданиями, в одной из прошлых статей.
У вас может возникнуть вопрос – а чем рациональная функция отличается от иррациональной?
У иррациональной функции, говоря простыми словами, аргумент находится под корнем, или степень у него это дробное число (несокращаемая дробь). Другой вопрос -
в чём отличия в нахождении их точек максимума (минимума)? Да ни в чём.
Сам принцип и алгоритм решения заданий на определения точек максимума (минимума) един. Просто для удобства и систематизации материала я разбил его на несколько статей – отдельно рассмотрел рациональные, логарифмические, тригонометрические и прочие, осталось ещё несколько примеров на нахождение наибольшего (наименьшего) значения иррациональной функции на отрезке. Их мы тоже рассмотрим.
Давайте здесь подробно опишу нахождение производной, когда у аргумента имеется степень, во всех примерах ниже это используется.
Сама формула:
То есть, если у нас аргумент стоит в некоторой степени и требуется найти производную, то мы записывает это значение степени, умножаем его на аргумент, а его степень будет на единицу меньше, например:
Если же степень дробное число, то всё тоже самое:
Следующий момент! Конечно же, вы должны помнить свойства корней и степеней, а именно:
То есть, если в примере вы увидите, например, выражение (или подобное с корнем):
То при решении, чтобы вычислить производную, его необходимо представить как х в степени, будет так:
Остальные табличные производные и правила дифференцирования вы должны знать!!!
Правила дифференцирования:
Рассмотрим примеры:
77451. Найдите точку минимума функции y = x 3/2 – 3x + 1
Найдем нули производной:
Решаем уравнение:
В точке х = 4, производная меняет знак с отрицательного на положительный, это означает, что данная точка является точкой минимума.
Ответ: 4
77455. Найдите точку максимума функции
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Решаем уравнение:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции. Для этого подставим произвольные значения из полученных интервалов в производную:
В точке х = 4, производная меняет знак с положительного на отрицательный, это означает, что данная точка является точкой максимума.
Ответ: 4
77457. Найдите точку максимума функции
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Решая уравнение:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции. Для этого подставим произвольные значения из полученных интервалов в производную:
В точке х = 9, производная меняет знак с положительного на отрицательный, это означает, что данная точка является точкой максимума.
Ответ: 9
Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке? Для этого мы следуем известному алгоритму
: 1
. Находим ОДЗ функции. 2
. Находим производную функции 3
. Приравниваем производную к нулю 4
. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции: Если на промежутке I производная функции 0" title="f^{prime}(x)>0">, то функция возрастает на этом промежутке.
Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.
5
. Находим точки максимума и минимума функции
. В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-"
. В точке минимума функции
производная меняет знак с "-" на "+"
. 6
. Находим значение функции в концах отрезка, Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить. Рассмотрим функцию Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для 1
. Задание B15 (№ 26695)
На отрезке . 1. Функция определена при всех действительных значениях х Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0. Ответ: 5.
2
. Задание B15 (№ 26702)
Найдите наибольшее значение функции
1. ОДЗ функции Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак: Следовательно, title="3/{cos^2{x}}>=3">, значит, title="3/{cos^2{x}}-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом: Title="y^{prime}=3/{cos^2{x}}-3={3-3cos^2{x}}/{cos^2{x}}={3sin^2{x}}/{cos^2{x}}=3tg^2{x}>=0"> Ответ: 5.
3
. Задание B15 (№ 26708)
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
1. ОДЗ функции : title="x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}"> Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности. Промежутку принадлежат два числа: и Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: Изобразим смену знаков производной функции на координатной прямой: Очевидно, что точка является точкой минимума (в ней производная меняет знак с "-" на "+"), и чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, . Из данной статьи читатель узнает о том, что такое экстремум функционального значения, а также об особенностях его использования в практической деятельности. Изучение такого концепта крайне важно для понимания основ высшей математики. Эта тема является основополагающей для более глубокого изучения курса. Вконтакте В школьном курсе дается множество определений понятия «экстремум». Данная статья призвана дать самое глубокое и четкое представление о термине для несведущих в вопросе лиц. Итак, под термином понимают, насколько функциональный промежуток приобретает минимальное либо максимальное значение на том или ином множестве. Экстремум – это и минимальное значение функции, и максимальное одновременно. Различают точку минимума и точку максимума, то есть крайние значения аргумента на графике. Основные науки, в которых используют данный концепт: Точки экстремума играют важную роль в определении последовательности заданной функции. Система координат на графике в лучшем виде показывает изменение экстремального положения в зависимости от изменения функциональности. Имеет также место такое явление, как «производная». Она необходима для определения точки экстремума. Важно не путать точки минимума либо максимума с наибольшим и наименьшим значением. Это разные понятия, хотя могут показаться похожими. Значение функции является основным фактором для определения того, как найти точку максимума. Производная не образуется от значений, а исключительно от крайнего ее положения в том или ином его порядке. Сама же по себе производная определяется на основе данных точек экстремума, а не наибольшего или наименьшего значения. В российских школах недостаточно четко проводят грань между этими двумя концептами, что влияет на понимание данной темы вообще. Давайте теперь рассмотрим такое понятие как «острый экстремум». На сегодняшний день выделяют острый минимум значения и острый максимум значения. Определение дано в соответствии с российской классификацией критических точек функции. Концепт точки экстремума лежит в основе нахождения критических точек на графике. Для определения такого понятия прибегают к использованию теоремы Ферма. Она является важнейшей в ходе изучения крайних точек и дает четкое представление об их существовании в том или ином их виде. Для обеспечения экстремальности важно создать определенные условия для убывания либо возрастания на графике. Для точного ответить на вопрос «как найти точку максимума», необходимо следовать таким положениям: Внимание!
Поиск критической точки функции возможен только в случае существования производной не менее второго порядка, что обеспечивается высокой долей наличия точки экстремума. Для того чтобы существовал экстремум, важно, чтобы были как точки минимума, так и точки максимума. В случае если это правило соблюдено лишь частично, то условие существование экстремума нарушается. Каждая функция в любом положении должна быть продифференцирована с целью выявления ее новых значений. Важно понимать, что случай обращения точки в ноль не является основным принципом нахождения дифференцируемой точки. Острый экстремум, также как и минимум функции – это крайне важный аспект решения математической задачи с использованием экстремальных значений. Для того чтобы лучше понимать данную составляющую, важно обратиться к табличным значениям по заданию функционала. 2. Нахождение точек разрыва, экстремума и пересечение с координатными осями. 3. Процесс определения изменений положения на графике. 4. Определение показателя и направления выпуклости и выгнутости с учетом наличия асимптот. 5. Создание сводной таблицы исследования с точки зрения определения ее координат. 6. Нахождение промежутков возрастания и убывания крайних и острых точек. 7. Определение выпуклости и вогнутости кривой. 8. Построение графика с учетом исследования позволяет найти минимум либо максимум. Школьные учителя не часто уделяют столь важному аспекту максимум внимания, что является грубейшим нарушением учебного процесса. Построение графика происходит только по итогам исследования функциональных данных, определения острых экстремумов, а также точек на графике. Острые экстремумы производной функции отображаются на графике точных значений, с использованием стандартной процедуры определения асимптот. Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?
Экстремумом функции называется максимум и минимум функции. Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует. Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке. Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?
Первое условие: Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум
Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум
при условии, что функция f(x) здесь непрерывна. Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции: Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна - то минимум. Что такое критическая точка функции и как её найти?
Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную
функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение
f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной
: нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы. Для примера найдём экстремум параболы
. Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50. Производная функции: y?(x) = 6x + 2 Решаем уравнение: y?(x) = 0 6х + 2 = 0, 6х = -2, х=-2/6 = -1/3 В данном случае критическая точка - это х0=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум
. Чтобы его найти
, подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число: y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333. Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?
Если знак производной при переходе через критическую точку х0 меняется с «плюса» на «минус», то х0 есть точка максимума
; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума
; если знак не меняется, то в точке х0 ни максимума, ни минимума нет. Для рассмотренного примера: Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1 При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак - «минус»). Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1 При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак - «плюс»). Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х0 мы имеем точку минимума. Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале
(на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка - в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала. Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции y(x) = 3sin(x) — 0,5х на интервалах: Итак, производная функции — y?(x) = 3cos(x) — 0,5 Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0 cos(x) = 0,5/3 = 0,16667 х = ±arccos(0,16667) + 2πk. Находим критические точки на интервале [-9; 9]: х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал) х = -arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687 х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88 х = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403 х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403 х = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88 х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687 х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал) Находим значения функции при критических значениях аргумента: y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885 y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398 y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256 y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256 y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398 y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885 Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88: x = -4,88, у = 5,398, а наименьшее - при х = 4,88: x = 4,88, у = -5,398. На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398. Находим значение функции на концах интервала: y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838 y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077 На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции у = 5,398 при x = -4,88 наименьшее значение — у = 1,077 при x = -3 Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?
Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет. Корни уравнения f ? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна - то книзу. Как найти экстремумы функции двух переменных?
Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно: 1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0 2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный - то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет. Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов. Какой официальный сайт группы "Бандерос" В каких случаях инспектор ДПС имеет право останавливать ТС Как защитить трудовую книжку от умышленной потери работодателем Где в интернете найти справочную всех телефонов Сколько градусов в радиане В каких странах проводились гран-при Формулы 1 в 2005 году Что такое алоказия Что означает фраза "Этот цветочек мы уже нюхали" Где найти рецепт панна котты Чему равен косинус 90 градусов 
или 
Функцию называют первообразной функции
. Первообразная функции определяется с точностью до постоянной величины.
, здесь - произвольная постоянная.
.
, причем эта функция непрерывная и справедливо равенство 
.
где .
. Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при , то получим . То есть, - это одна из первообразных функции y = f(x)
на отрезке
. Таким образом, множество всех первообразных F(x)
можно записать как 
, где С
– произвольная постоянная.
, следовательно, . Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b)
: , то есть 
. Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница .
. Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид 
.
. Возьмем первообразную при C = 0
: .
. Прямоугольная С.К.
Функция, задана параметрически
Полярная С.К.
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление длины дуги плоской кривой
Вычисление площади поверхности вращения
не является дифференциальным уравнением.
может рассматриваться как приближение нелинейного уравнения математического маятника 
для случая малых амплитуд, когда y
≈ sin y
.
где m
- масса тела, x
- его координата, F
(x
, t
) - сила, действующая на тело с координатой x
в момент времени t
. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.
. График этой функции выглядит так:
на отрезке . title="x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}"> возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .
. При переходе через точки и производная меняет знак.Что такое экстремум?
Экстремумы производной функции
Необходимое условие экстремума функции
Полное исследование значения
Построение графика значения
1. Определение точек возрастания и убывания значений.
Основным элементом при необходимости работы с экстремумами является точное построение его графика.
Сайты русскоязычных хип-хоп исполнителей: mad-a.ru — официальный сайт рэп артистки MAD-A (фотографии, музыка, биография); st1m.ru - официальный сайт рэп исполнителя St1m (музыка, видео, фото, информация о концертах, новости, форум); all1.ru - официальный сайт творческого объединен
Исходя из положения пункта 20 статьи 13 Закона «О полиции», инспектор ДПС имеет право останавливать транспортное средство (далее — ТС), если это необходимо для выполнения возложенных на полицию обязанностей по обеспечению безопасности дорожного движения и в др. случаях (см. полный перечень ниже). Если инспектор визуально
Чтобы защитить трудовую книжку от умышленной потери (порчи) работодателем, сотруднику предприятия рекомендуется любыми законными путями получить копию трудовой, например, используя предлог для оформления кредита, и хранить ее в надежном месте. Если недобросовестный работодатель умышленно уничтожит факты трудоустройства сотрудника на его предприятие (во избежание выявления нарушений трудового законодательства во время провед
Сайты «Жёлтых страниц» в интернете: yellow-pages.ru — онлайн журнал справочной информации «Yellow pages»; ypag.ru — жёлтые страницы СНГ; yellowpages.rin.ru — жёлтые стра
1 минута дуги (1′) = 60 секунд дуги (60″) 1 угловой градус (1°) = 60 минут дуги (60′) = 3600 секунд дуги (3600″) 1 радиан ≈ 57,295779513° ≈ 57°17&prim
Музыка - это вид искусства. Средством передачи настроения и чувства в музыке служат специально организованные звуки. Основными элементами и выразительными средствами музыки являются: мелодия, ритм, метр, темп, динамика, тембр, гармония, инструментовка и другие. Музыка является очень хорошим средством воспитания художественного вкуса у ребенка. Музыка способна влиять на настроение,
В 2005 году чемпионат мира состоял из 19 гран-при, которые проводились в следующих странах: Австралия, Малайзия, Бахрейн, Сан-Марино, Испания, Монако, Канада, США, Франция, Великобритания, Германия, Венгрия, Турция, Италия, Бельгия, Бразилия, Япония, Китай. Гран-при Европы проводился в Германии (Нюрбург).Подробнее на сайте http:/
Алоказия (Alocasia) Семейство ароидных. Родина Южная Америка. Редкое растение любящее тепличные условия (влагу и тепло) и поэтому не получившее широкого распространения среди цветоводов. Алоказия красивое комнатное растение, с крупными стреловидно-овальными (или сердцевидными) листьями, которых бывает не более 6-7. Самые распространенные в
Фраза «Этот цветочек мы уже нюхали» употребляется в том же значении, что и известный фразеологизм «Дважды наступить на одни и те же грабли», т.е. столкнуться с уже знакомой неприятной ситуацией. Это выражение встречается в фельетоне Ильи Ильфа «Молодые дамы» (1929) в следующе
Панна котта (Panna cotta) — это нежнейший соблазнительный десерт из сливок и желатина, который готовят в Италии, регионе Эмилия-Романья. Дословно название десерта переводится как «вареный крем» или «вареные сливки», но по существу это кремовый пудинг без или с различными добавками.
Косинус — одна из тригонометрических функций, обозначется cos. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению катета, выходящего из этого угла (прилежащего катета), к гипотенузе.Значения косинусов для часто встречающихся углов (π — число пи, √ — корень ква
