Муниципальное образовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 137
I
городская научно-практическая конференция
младших школьников «Учение с увлечением – старт в науку»
Секция «Математика»
Исследовательская работа по теме:
«Нуль-это не полный ноль!»
Работу выполнил Ануфриев Валерий,
ученик 4 а класса
МОУ «Средняя общеобразовательная
школа № 137»
Руководитель Мастерова З.П.
учитель начальных классов
высшей квалификационной категории
Новосибирск 2010г .
Аннотация
В представленном исследовании рассматриваются вопросы истории возникновения числа «0» и его трансформации в современную систему записи, закрепляются основные навыки и умения путем математических действий с числом. Дается ответ на вопрос: «Почему нельзя делить на ноль?» путем доказательства. В работе представлены сферы применения числа в различных областях науки и культуры.
Введение…………………………………………………………………… 4
1. История возникновения числа…………………………………………… 6
2. Основные математические действия с числом «0»…………………… 8
3. Почему нельзя делить на нуль? (доказательство)……………………… 9
4. Тайны числа и человеческие качества……………………………………. 9
5. Применение числа в современных технологиях………………………… 10
6. Изображение нуля в памятниках культуры……………………………….11
Заключение ………………………………………………………………….. 13
Список использованных источников информации…………………………15
Введение
Цель исследования : обоснование необходимости расширения логического мышление и развитие памяти через углубленное изучение представления о нуле, закрепление умений по применению основных действий с нулем, навыки работы с понятийным аппаратом и научной литературой.
Задачи работы : изучение истории возникновения числа нуль и его трансформации в общепринятую запись во всем мире; знание основных математических действий с числом «0»; доказательство запрета деления на ноль; исследование тайны числа; теоретическое обоснование необходимости формирования более глубокого знания о числе; визуализация основных подходов к изучение нуля с помощью программы Power Point для представления результатов исследования.
Способы сбора, анализа и преставления информации: для решения поставленных задач изучалась литература, использовались материалы из интернета, решались примеры, строились таблицы, приводились формулы, результаты исследования представлены визуально с помощью презентации.
В решении практических задач образовательной системы России сегодня как никогда актуальна проблема формирование ценностных начал. Преподавание предмета «Математики» в начальной школе должно выстраивается через внесение в практику педагогических технологий, методов на формирование не только логического мышления и памяти, но и духовных качеств. Многочисленные исследования ученых указывают, что в кризисных условиях общества наиболее сложные проблемы социализации испытывают учащиеся школ, что делает задачу формирования логического мышления через поиск формирования ценностных подходов к изучению математики наиболее актуальной.
Цифра ноль – одна из самых загадочных во всем числовом множестве: она одновременно таит в себе пустоту и бесконечность. Но без этого «пустого места» сегодня не обходится, ни один расчет. Известный математик О.Ф. Гулдерен отмечает : «Мне представляется, что цифры всегда использовались, кроме прямого назначения, и для выражения относительных и индивидуальных ценностей человека. Умножая значение цифр и чисел, «ноль» получает удовольствие от того, что приносит им пользу и по этой причине в ответ на это не ждет никакой награды. Такое поведение «нуля» цифры все время встречают c одобрением. Но он думает, что сам по себе не имеет никакой ценности и приобретает важность, лишь находясь рядом с ними. И этим скромным поведением он заслуживает исключительное уважение каждой цифры» (2,3). Как и у других цифр, у «нуля» тоже есть одна цель: познать бесконечное, т.е. не исчезнуть, быть вечным и обрести бесконечность. Но, к сожалению, он никак не может достигнуть бесконечности». На протяжении тысячелетий люди обходились без ноля: эта цифра была неведома ни египтянам, ни римлянам, ни грекам, ни древним евреям.
«
В цифре ноль таится намек на неописуемое и невыразимое, в ней заключено беспредельное и бесконечное. Вот почему ее издавна боялись, ненавидели, а то и запрещали», - пишет американский математик Чарльз Сейф, автор книги "Биография цифры ноль"(12,25).
Известно, что римские цифры придумали в Риме. Возможно «ноль» придумали арабы, мы же пишем арабскими цифрами. Почему нельзя делить на ноль, где эта цифра находит применение. Чтобы ответить на все вопросы, необходимо целое исследование.
1. История возникновения числа
Ноль это понятие изобретенное. Это одно из величайших достижений человечества, это целая теория, которая оказала влияние на историю человечества, потому что внесла большой вклад в развитие высшей математики.
Из энциклопедии можно узнать, что ноль можно называть нуль и что произошел он (от латинского слова nullus
– никакой) - цифровой знак, обозначающий число ноль, а также математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда. Это то, что известно в школе. Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд. 
Поначалу необходимость ноля была не очевидна, ведь за этим значком не скрывается никакой реальной величины. Так - пустота, ничто! Между тем ныне на этом "пустом месте" строится все здание современной математики. Припишите позади любой цифры невзрачный нолик, и значение числа возрастет в 10 раз.
П
ервый в истории ноль изобрели вавилонские математики и астрономы. Еще 300 лет до н. э. ученые Вавилона в своих расчетах вовсю жонглировали нолем.
Ноль в представлении вавилонян выглядел совсем не так, как теперь. Он изображался в виде двух поставленных наискось стрел. Значит, первоначально ноль был не цифрой, а лишь знаком пробела. Он не участвовал в математических операциях, а лишь помогал записать то или иное число. Так, тройка, за которой следовал пробел, превращалась в тридцать. Пробел был составной частью числа, но не числом. Складывать его с другими числами было невозможно. Некоторые исследователи предполагают, что нуль быль заимствован у греков, которые ввели в качестве нуля букву «о». Другие, наоборот, считают, что ноль пришёл в Индию с востока, он был изобретён на границе индийской и китайской культур.
Независимо от вавилонян ноль изобрели племена майя, населявшие Центральную Америку. Как и у вавилонян, ноль у майя был не числом, а лишь значком пробела и не участвовал в операциях сложения, вычитания. А в греческих и римских числах использовались буквы и значки.
Лишь у индийцев, впервые в истории человечества, появляется ноль как математический символ. В Индии, в отличие от Греции, никогда не испытывали ужас перед бесконечным или пустотой – наоборот, перед этими понятиями преклонялись.
Поначалу индийцы пользовались словесной системой обозначения чисел. Ноль, например, назывался словами «пустое», «небо», «дыра»; двойка – словами «близнецы», «глаза», «ноздри», «губы», «крылья». Например, число 102 передавалось как «луна – дыра – крылья». Вскоре вместо букв ввели особые значки – цифры.
Прежде чем «ноль» попал на Запад, он проделал долгий путь. Арабы вторглись в Испанию и завоевали почти всю ее территорию. Потом они захватили часть Индии. Там они познакомились с принятой индийцами системой счисления и переняли ее. С тех пор стали говорить (и говорят) об «арабских цифрах».
Запись чисел с выделением десятков изобрели в Индии около V века. Ученый Ариабхата изложил десятичную систему исчисления в посвященном астрономии трактате «Ариабхатиам». Через столетие другой индийский мыслитель, Брахмагупта, уже свободно оперировал достижениями предшественников, а также понятием ноля. К тому времени многие народы далеко ушли от первобытной системы счета с делением на «один, два, много», но до изобретения числа, обозначающего «ничего», додумались только в Индии. В IX веке «Ариабхатиам» перевел на арабский язык ученый Аль-Хорезми, и это способствовало широкому распространению индийской системы цифр. В Европу она попала из Кордовского халифата в конце X века, и так уж повелось, эти цифры стали называть арабскими. Нынешний вид арабские цифры приобрели не сразу и представляют собой итог многовекового творчества разных людей. Индийцы вообще записывали их сначала буквами санскритского алфавита. Арабские математики несколько видоизменили индийские цифры под свое письмо, а европейцы уже исказили или полностью заменили начертание всех девяти цифр. Кроме ноля - его манера изображения осталась неизменной со времен изобретения, как показано на рисунке 1.
Рис.1 – Трансформация записи чисел в общепринятую систему во всем мире
В последующие века значение ноля стремительно возрастает. Разумеется, возникает одна проблема, когда пытаются рассматривать ноль и отрицательные числа как числа: насколько корректно они введены относительно арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления. В трех фундаментальных работах индийские математики Брахмагупта, Махавира и Бхаскара попытались преодолеть это затруднение.
Действительный ноль является границей между областью и областью чисел. Ноль не имеет знака. Иногда разделяют на три : положительные, и беззнаковые числа. При этом беззнаковые числа - множество, состоящее лишь из ноля. Множество беззнаковых чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения.
2. Математические действия с цифрой «0»
Ноль
- это
для операции
(то есть при сложении с нулём число не меняется).
любого элемента множества на ноль даёт ноль. Деление на ноль невозможно, так как приводит к
, - в самом деле, если бы результатом деления числа
на ноль было бы какое-нибудь число
b
, то мы имели бы c одной стороны
, c другой стороны
. Результатом деления 0:0 могло бы считаться любое число
а,
так как для всех
a
, но так как считается, что результатом деления должно быть единственное число, то этот случай также исключается, но в численных методах ноль рассматривается как бесконечно малая величина, а не число, и тогда результат деления любого числа (величины) на 0 будет равен бесконечности, 0 или самому этому числу в зависимости от дополнительных условий.
В зависимости от множества, на котором определена операция сложения, ноль может иметь различную природу. Обычно имеют в виду действительный ноль, то есть ноль в контексте множества действительных чисел; комплексный ноль; ноль- ; . Основные математические действия с числом «0», представлены в таблицах 1 и 2.
Таблица 1 - Примеры математических действий по сложению и вычитанию с числом «0»
Действие
Буквенная запись
Словесная формулировка
Мои примеры
Сложение
a + 0 = a
0 + b = b
Если одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому.
562 + 0 = 562
0 + 275 = 275
Вычитание
с – 0 = с
Если из числа вычесть нуль, то получиться число из которого вычитали.
375 – 0 = 375
d – d = 0
Если уменьшаемое и вычитаемое равны нулю, то разность равна нулю.
743 – 743 = 0
Таблица 2 - Математические действия с числом «0»
Действие
Буквенная запись
Словесная формулировка
Примеры
Умножение
0 х b = 0
d х 0 = 0
С х b х 0 =0
Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.
0 х 312= 0
933 х 0 = 0
356 х 0 х 2 = 0
Деление
0: с= 0
Если нуль разделить любое другое число, то получиться нуль.
0: 7 = 0
3. Почему нельзя делить на ноль?
Деление, это операция, обратная умножению. То есть, деление числа А на число Б это поиск такого числа Ц, которое при умножении на число Б дает в результате число А. То есть: если А:Б=Ц то Б*Ц=А. Посмотрим, что было бы, если бы на 0 было можно делить. Допустим, делим число 10 на 0. Мы должны найти такое число, которое при умножении на 0 даст 10.
Но: 1*0=0, 2*0=0, 3*0=0, ... , 120*0=0, 121*0=0
..., да какое число ни возьми, все равно в результате его умножения на 0 так 0 и останется, никак 10 не получить. Вот поэтому и принято считать, что на ноль делить нельзя.
А почему 0 на 0 нельзя? Ведь 0*0 равно 0. Значит, если 0 разделить на 0, должен получиться 0! Правильно? Правильно, да не совсем. 1*0 то же будет ноль. И 5*0 то же будет ноль. Так почему при делении ноль на ноль должен именно ноль получиться? Ведь так рассуждая, в результате может быть любое число. А математики говорят, что получится «неопределенность». А в школьном курсе, просто считается: «На ноль делить нельзя!».
4. Тайны числа и человеческие качества
У людей говорят: «Не шути с огнем!» –
А у нас говорят: «Не шути с нулем!»
У нуля про запас сотни каверз и проказ,
Нужен глаз за ним да глаз!
Ноль вообще считается символом неудач. Когда он появляется в дате рождения, это приносит неудачу. Даже десятый месяц в году (октябрь), будучи 10-м, приносит неудачу, хотя и в меньшей степени. Появление нуля в году рождения также приносит неудачу. Комбинация нуля с другим числом уменьшает влияние этого числа. Люди, имеющие ноль в дате рождения, должны в своей жизни больше бороться, чем те, у которых нуля нет. Присутствие более чем одного нуля в дате рождения - например, октябрь (десятый месяц) 10, 1970 (и особенно 2000) - вынуждает очень много работать в жизни.
В нуле присутствуют все числа от 1 до 9, и когда ноль соединяется с этими числами, то развивается особая серия чисел. Например, когда ноль объединяется с числом 1, образуется серия чисел с 11 по 19. Введение нуля с целью развития математики, общей науки, и современной технологии привело человечество к веку компьютеров. Традиционные западные соответствия для этого числа: беспредельность, непознанность, безграничность, истина, чистота, любовь, альфа и омега, В русском языке известны следующие пословицы, крылатые слова:
Ноль без палочки – ничего не стоящий.
Ноль внимания – полное равнодушие, безразличие со стороны кого-либо к кому-либо или чему-либо.
Абсолютный нуль, круглый ноль – человек ничтожный, совершенно бесполезный в каком - либо деле.
Сводить к нулю – лишать всякого смысла, значения.
Ноль – начало всех времен... Только где это начало? Может быть, это момент возникновения Вселенной? Но если такой момент и был, то очень давно, и точно сказать, сколько лет прошло с тех пор, никто не сможет – разве что примерно, с точностью до миллиардов лет. А считать годы нужно. Но раз неизвестно, когда состоялось «сотворение мира», почему не поступить так же, как и с расстояниями? Выберем какое-нибудь знаменательное событие, скажем, что оно произошло в нулевой момент времени, и от него пойдет первый год. Так мы и делаем: говорим, что первый год нашей эры начался с Рождества Христова, а все, что было до того – было до нашей эры.
5. Применение числа в современных технологиях
В
о-первых, ноль занимает почетное место на различных числовых шкалах, например на градусной. И ныне мы постоянно оперируем относительно нулевой отметки. Температура выше нуля, ниже нуля.
Во-вторых, без ноля не существовало бы современной компьютерной техники. А представить себе современную жизнь без компьютера уже так же трудно.
В-третьих, ноль – удобное обозначение начала пути. Если вы едете по шоссе, мимо вас мелькают километровые столбы: 10 км, 11 км, 12 км... от чего? От главного почтамта того города, откуда вы выехали. Расстояние от почтамта до него самого же равно нулю – ни идти, ни ехать не надо... По железным дорогам России все расстояния считают от Москвы (кроме Октябрьской железной дороги, где отсчет идет от Санкт-Петербурга). Так что Москва – это ноль на карте железных дорог, точка, из которой все начинается.
В-четвертых, отчет времени. Круглым числом 0 заканчивается предыдущий век (до н.э.), а не начинается новый. И 2000 год – это последний год XX века, а вовсе не первый год третьего тысячелетия.
В математике:нулевое , нулевое , нулевое ; N 0 = 1, при . 0 0 , однако ; 0 является и делится на все натуральные числа; 0 (ноль ) определяется как 1. В других областях: -код управляющего символа NUL , - охватывает 0 .
6. Изображение нуля в памятниках культуры
А точка, от которой отсчитывают расстояния в Венгрии, отмечена особо. В этом месте (оно находится в центре Будапешта) поставлен – ни много ни мало – памятник нулю. Ни одна другая цифра не удостоилась таких почестей!
Рис. 2 - Памятник в Будапеште
В Дунайском биосферном заповеднике есть место называемое «нулевым километром». Так называется место, где Дунай впадает в Черное море и откуда начинается отсчет расстояний на реке. Даже соответствующий монумент имеется. Прогуляйтесь немного по пляжу рядом с «нулем». В этот момент вы ступаете по самой молодой суше Европы, которая возникла буквально в последние годы. И обязательно пролезьте через "дырку" в памятном знаке. Лукавые гиды утверждают, что дополнительный ноль в вашей зарплате гарантирован.
На острове Анкудинов, установлен знак нулевого километра. Отсюда ведется отсчет длины Дуная, пролегающего по землям десяти государств Европы. Интересно, что Дунай - единственная река в мире, которую измеряют не от истоков, а из дельты.
Рис. 2 - Знак «0» на Дунае
Также это число удостоилось памятника в городе Мюнхене.
Рис.3 - Памятник числу «0» в Мюнхене
Рис. 4 – Мое хобби - «математика для ног» и получение медалей в форме ноля
Заключение
В моем исследовании я попытался обосновать необходимость расширения логического мышление и развитие памяти через углубленное изучение представления о нуле, закрепил умения по применению основных действий с нулем, получил навыки работы с новыми понятиями, научной литературой, компьютером.
Я узнал, что «ноль» это понятие изобретенное. Это одно из величайших достижений человечества, это целая теория, которая оказала влияние на историю человечества, потому что внесла большой вклад в развитие высшей математики.
Ноль пришел к нам из Индии, а персидский математик Аль-Хорезми посоветовал ставить пустой кружок на то место где должно помещаться «ничто». На языке Древней Индии «кружок» - «сунья». Арабы перевели это слово на свой язык, и стал наш нуль называться «сифр». «Сифр» - «цифра».
Тех пор всех его братьев и сестер стали называть арабским именем нуля. Все они теперь цифры: и 0 – цифра, и 5 – цифра, и 6 – цифра. Также я узнал, что в римской системе счисления цифру ноль не использовали, вместо этого у них были буквы и черточки. А само слово «нуль» возникло позже от латинского слова – «ничто».
Как ни странно, «ничто» - самая важная цифра нашей счетной системы! Казалось бы, пустота, воздух – а какая сила! Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд.
Из курса математики в начальной школе нам известны математические действия с числом «0». С помощью визуализации моих примеров я представил их наглядно на слайдах презентации.
С помощью доказательства я попытался обосновать ответ на вопрос: «Почему нельзя делить на ноль?». С помощью дополнительной литературы я узнал, какие тайны хранит в себе эта цифра.
Известные математики и психологи приписывают цифре человеческие качества: скромность и великодушие. В религии является числом неудач, когда появляется в дате рождения человека. А философы дают такие соответствия для числа как, любовь, пространство, вечность и истина. Мне стали известны множество пословиц и крылатых слов. С точки зрения русского языка Толковый словарь называет "нуль" устарелым, а "ноль" - более современным словом.
Значение ноля весьма велико в современных технологиях: ноль занимает почетное место на различных числовых шкалах, например на градусной. И ныне мы постоянно оперируем относительно нулевой отметки. В науке говорят ноль температуры. Без ноля не существовало бы современной компьютерной техники. А представить себе современную жизнь без компьютера уже так же трудно.
Ноль – удобное обозначение начала пути. По железным дорогам России все расстояния считают от Москвы это ноль на карте железных дорог, точка, из которой все начинается (кроме Октябрьской железной дороги).
В отчете времени круглым числом 0 заканчивается предыдущий век (до н.э.), а не начинается новый. И 2000 год – это последний год XX века, а вовсе не первый год третьего тысячелетия. Даже памятников удостоился ноль в городе Мюнхене и в Будапеште. Ни одна другая цифра не удостоилась таких почестей! Мое хобби – математика для ног. Так называют спортсмены спортивные бальные танцы, которыми я занимаюсь. Ну и конечно, люблю получать медали в форме ноля.
Надеюсь в старших классах еще больше узнать об этой замечательной цифре. В заключении мне хотелось привести стихи О.Емельяновой:
«Цифры все хоть что-то значат,
Только Ноль несчастный плачет –
Он не значит ничего,
Будто бы и нет его.
Девять с ним дружить не хочет,
Восемь голову морочит,
Семь, Шесть, Пять смеются вслед,
И Четверке дела нет.
Стали Три и Два дразниться.
И пошел Ноль к единице.
Позади нее он встал
И ничем быть перестал».
Список используемых источников информации
Глейзер Г.И. История математики в школе: 4-6 кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981, стр.80.
О.Ф. Гульдерен «Тайны числа ноль», журнал «Грани», М., №10-12,2007г http :// kosilova . textdriven . cjm / narod / studia 3/ math / translatio / zero . htm -электронный вариант книги Дж. Дж. О’Коннор, Е.Ф. Робертсон «История нуля»
http://www.alleng.ru/d/math/math166.htm - выдержки из книги Чарльза Сейф "Биография цифры ноль".
Деление на 0 вызывает множество вопросов у тех людей, которые занимались математикой и имели с нею контакт лишь на этапе школьного образования. Во время того, когда ребенок начинает изучать в целом операции умножения и деления, подходит дело и к делению на ноль. В этот момент учитель говорит, чаще всего, что делить на ноль нельзя и… все.
Объяснения на этом этапе окончены. Нельзя, и хоть ты тресни
Перед учеником становится дилемма - верить учителям на слово и просто писать, что ответа в примере, где всплывает такая операция, нет, или попытаться разобраться в этом вопросе. Но большинство родителей, которые давным-давно окончили школу и благополучно выбросили на помойку головного мозга все те знания, которые вдалбливались им в школьное время (кроме тех, которые хоть как-то пригодились им в жизни), тоже не особо могут помочь в этом вопросе. А выход сравнительно прост. Хорошо, если учитель подойдет к вопросу, почему нельзя делить на ноль, с творческой стороны. Для этого достаточно будет произвести обычные операции с наглядной демонстрацией процесса. О чем речь?
Демонстрация разных операций деления с помощью понятных любому человеку действий
Можно взять несколько яблок, допустим, шесть штук, и объяснить, что 6 - это число, которое нужно разделить, то есть, согласно изученным математическим терминам, это делимое.
Учитель стоит возле доски, и перед ним на столе лежит 6 яблок. Затем он подзывает двоих человек из класса и делит между ними эти яблоки поровну. То есть два человека в данном случае выступают за делитель - число, на которое следует разделить делимое. Каждому ученику учитель отдаёт в руки по три яблока. То есть процесс деления происходит именно тогда, когда учитель передавал яблоки в руки ученикам. И три яблока в руках у каждого ребенка - это частное от деления.
Деление нуля на число - демонстрация происхождения процесса
Вопрос, почему нельзя делить на ноль, возникает от обратной ситуации - почему же можно делить ноль на число? Это сейчас мы умные и знаем, что любое число можно поделить на другое, и оно будет делиться нацело или появится дробь, или даже отрицательный знак, корень или число Пи - все возможно. Но вот с нулем загадка и все.
Что же происходит, когда делят нуль на число?
Для того чтобы объяснить, что на ноль делить нельзя, разберемся сначала с тем, что происходит, когда 0 делится на определенное число. Тот же учитель стоит возле доски, и у него на столе ничего нет. Перед ним пустота, ноль. Когда ученики подходят к нему и протягивают руки, чтобы получить свое частное, учитель делится с ним этим ничем, просто прикасаясь к их ладоням. То есть у него было одно большое ничего, и он отдал это ничего двум ученикам. Таким образом, становится понятно, что и деление нуля на любое число имеет место, ведь процесс передачи состоялся. С той только разницей, что с нулевым результатом.
Случай третий
Аналогичную, третью ситуацию проводить нужно уже для того, чтобы показать, почему нельзя делить на ноль. У учителя в руках или на столе перед ним снова те самые шесть яблок, что и в первой ситуации. Но мы делим на ноль, потому к нему за яблоками никто не подходит.
То есть те двое учеников, которые подходили ранее в первой ситуации, представляли собой число 2. Чтобы представить число 0, получается, что должен подойти никто. Как мы помним, именно передача из рук учителя яблок в руки ученикам является процессом деления. Но сейчас учеников нет, и процесс деления ни с кем не происходит. От того и получается, что поделить на ноль невозможно. Для детей на уровне школьного образования это элементарное объяснение.
Просто и легко объяснить. А после пусть делают то же самое преподаватели института
Уже после поступления в высшее учебное учреждение и изучения понятия границы, например, снимается вопрос, почему нельзя делить на ноль, ведь окажется, что сделать это можно. Поделив что-то на ноль, в результате мы получим бесконечность, неопределенность.
Бесконечная размерность такого результата еще не до конца определена, и человек, который не имеет особого математического образования, не способен понять, зачем это нужно, какие цели преследовались при решении данной операции и что вообще это дает. Но для учеников школьного возраста вышеописанного объяснение вполне достаточно, чтобы удовлетворить их желание понять, почему же все же нельзя делить на ноль - не просто сказать это и поставить детей перед фактом, а дать им интересное и занимательное объяснение.
Почему нельзя делить на ноль? April 16th, 2018
Итак, недавно мы обсуждали . А вот еще интересное утверждение. «Делить на ноль нельзя!» - большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?». Вот что будет, если
А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.
Всё дело в том, что четыре действия арифметики - сложение, вычитание, умножение и деление - на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них - сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.
Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 - это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача - найти подходящее число.
Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8: 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8.
Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5: 0 - это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.
Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5: 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.
Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0: 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0: 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 и т. д.
Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0: 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)
Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее - у операции умножения и связанного с ней числа ноль.
Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними.
Очень часто многие задаются вопросом, почему же нельзя использовать деление на ноль? В этой статье мы очень подробно расскажем о том, откуда появилось это правило, а также о том, какие действия можно выполнять с нолем.
Вконтакте
Ноль можно назвать одной из самых интересных цифр. У этой цифры нет значения , она означает пустоту в прямом смысле слова. Однако, если ноль поставить рядом с какой-либо цифрой, то значение этой цифры станет больше в несколько раз.
Число очень загадочно само по себе. Его использовал еще древний народ майя. У майя ноль означал «начало», а отсчет календарных дней также начинался с нуля.
Очень интересным фактом является то, что знак ноля и знак неопределенности у них были похожи. Этим майя хотели показать, что ноль является таким же тождественным знаком, как и неопределенность. В Европе же обозначение нуля появилось сравнительно недавно.
Также многим известен запрет, связанный с нолем. Любой человек скажет, что на ноль нельзя делить . Это говорят учителя в школе, а дети обычно верят им на слово. Обычно детям либо просто не интересно это знать, либо они знают, что будет, если, услышав важный запрет, сразу же спросить «А почему нельзя делить на ноль?». Но когда становишься старше, то просыпается интерес, и хочется побольше узнать о причинах такого запрета. Однако существует разумное доказательство.
Действия с нулем
Для начала необходимо определить, какие действия с нулем можно выполнять. Существует несколько видов действий :
- Сложение;
- Умножение;
- Вычитание;
- Деление (ноля на число);
- Возведение в степень.
Важно! Если при сложении к любому числу прибавить ноль, то это число останется прежним и не поменяет своего числового значения. То же произойдет, если от любого числа отнять ноль.
При умножении и делении все обстоит немного иначе. Если умножить любое число на ноль , то и произведение тоже станет нулевым.
Рассмотрим пример:
Запишем это как сложение:
Всего складываемых нолей пять, вот и получается, что
Попробуем один умножить на ноль
. Результат также будет нулевым.
Ноль также можно разделить на любое другое число, не равное ему. В этом случае получится , значение которой также будет нулевым. Это же правило действует и для отрицательных чисел. Если ноль делить на отрицательное число, то получится ноль.
Также можно возвести любое число в нулевую степень . В таком случае получится 1. При этом важно помнить, что выражение «ноль в нулевой степени» абсолютно бессмысленно. Если попытаться возвести ноль в любую степень, то получится ноль. Пример:
Пользуемся правилом умножения, получаем 0.
Так можно ли делить на ноль
Итак, вот мы и подошли к главному вопросу. Можно ли делить на ноль вообще? И почему же нельзя разделить число на ноль при том, что все остальные действия с нулем вполне существуют и применяются? Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к высшей математике.
Начнем вообще с определения понятия, что же такое ноль? Школьные учителя утверждают, что ноль-это ничто. Пустота. То есть когда ты говоришь, что у тебя 0 ручек, это значит, что у тебя совсем нет ручек.
В высшей математике понятие «ноль» более широкое. Оно вовсе не означает пустоту. Здесь ноль называют неопределенностью, так как если провести небольшое исследование, то получается, что при делении ноля на ноль мы можем в результате получить любое другое число, которое не обязательно может быть нолем.
Знаете ли вы, что те простые арифметические действия, которые вы изучали в школе не так равноправны между собой? Самыми базовыми действиями являются сложение и умножение
.
Для математиков не существует понятий « » и «вычитание». Допустим: если от пяти отнять три, то останется два. Так выглядит вычитание. Однако, математики запишут это таким образом:
Таким образом, получается, что неизвестной разностью является некое число, которое нужно прибавить к 3, чтобы получить 5. То есть, не нужно ничего вычитать, нужно просто найти подходящее число. Это правило действует для сложения.
Немного иначе дела обстоят с правилами умножения и деления. Известно, что умножение на ноль приводит к нулевому результату. Например, если 3:0=х, тогда, если перевернуть запись, получится 3*х=0. А число, которое умножалось на 0 даст ноль и в произведении. Получается, что числа, которое бы давало в произведении с нолем какую-либо величину, отличную от ноля, не существует. А значит, деление на ноль бессмысленно, то есть оно подходит к нашему правилу.
Но что будет, если попытаться разделить сам ноль на себя же? Возьмем как х некое неопределенное число. Получается уравнение 0*х=0. Его можно решить.
Если мы попробуем взять вместо х ноль, то мы получим 0:0=0. Казалось бы, логично? Но если мы попробуем вместо х взять любое другое число, например, 1, то в конечном итоге получится 0:0=1. Та же ситуация будет, если взять любое другое число и подставить его в уравнение .
В этом случае получится, что мы можем как множитель взять любое другое число. Итогом будет бесконечное множество разных чисел. Порой все же деление на 0 в высшей математике имеет смысл, но тогда обычно появляется некое условие, благодаря которому мы сможем все-таки выбрать одно подходящее число. Это действие называется «раскрытием неопределенности». В обычной же арифметике деление на ноль снова потеряет свой смысл, так как мы не сможем выбрать из множества какое-то одно число.
Важно! На ноль нельзя разделить ноль.
Ноль и бесконечность
Бесконечность очень часто можно встретить в высшей математике. Так как школьникам просто не важно знать о том, что существуют еще математические действия с бесконечностью, то и объяснить детям, почему делить на ноль нельзя, учителя как следует не могут.
Основные математические секреты ученики начинают узнавать лишь на первом курсе института. Высшая математика предоставляет большой комплекс задач, которые не имеют решения. Самыми известными задачами являются задачи с бесконечностью. Их можно решить при помощи математического анализа.
К бесконечности также можно применить элементарные математические действия: сложение, умножение на число. Обычно еще применяют вычитание и деление, но в конечном итоге они все равно сводятся к двум простейшим операциям.
Одним из самых первых правил, которое изучается в школе, является запрет деления на нуль. Почему нельзя делить на ноль? Это аксиома, которая появилась в элементарной алгебре. Ее изучают в общеобразовательных школах.
Со школьной скамьи до сих пор осталось предубеждение, что нельзя, хотя почему так - никто толком объяснить не может. Для понимания этого математического действия необходимо сначала разобраться в одном вопросе: что представляет собой бесконечность?
Понятие математической бесконечности
Это одна из категорий человеческого мышления, которая применяется для определения беспредельных, безграничных явлений, процессов и чисел. Математическая бесконечность представляет собой такую величину, которую теоретически и практически невозможно вычислить .
Все довольно прозаично: если число, которое делится на все меньшее и меньшее, то результатом будет являться большее значение. Чем оно меньше, тем больше значение. Чем больше разница между делимым и делителем, тем большим будет частное. Именно такую природу имеет бесконечность в математике.
Таким образом, если делитель стремиться к нолику, то конечное значение частного будет близко к бесконечности. А в случае, когда делитель будет нуль, то конечный результат вычисления будет эта самая "безмерность". Не сверхбольшое значение, не миллиарды миллионов, а бесконечность.
Поскольку до сих пор нет определения этой величины (если вообще она имеется), то физики и математики условно приняли, что делить на нолик нельзя. Не имеет смысла. Это самый простой ответ на наш вопрос. А для тех, кто не разобрался, постараемся рассказать подробнее.
Простейшие операции с числами
Из школьного курса математики все помнят, что существует четыре простейшие операции: умножение, деление, сложение и вычитание. Эти операции являются неравнозначными. У умножения и деления приоритет перед прибавлением и отниманием и так далее. Из математики следует, что основными операциями с числами становятся сложение и вычитание, а все остальные (в том числе и производные, и интегралы, и логарифмы) являются производными.
Для примера рассмотрим вычитание. Чтобы решить пример "10 - 7 = ...", необходимо из десяти единиц вычесть семь, а результат вычисления будет ответом. Поскольку сложение по релевантности стоит выше, то пример должен рассматриваться через правила сложения. Мы имеем такой вид примера: "Х + 7 = 10". Другими словами, к какой цифре необходимо добавить семь, чтобы получить десять?
Аналогично с делением. Выражение "10: 2 = ...." будет производным от выражения "2 Х = 10". Иначе говоря, что необходимо взять два раза, чтобы получить в итоге десять? Ответ очевиден. Теперь мы рассмотрим такой же пример, только с ноликом. Возьмем выражение "10: 0 = ...". Его обратная бинарная операция будет иметь вид "0 Х = 10". Тут мы видим ответ. Что надо умножить на "ничего" (в элементарной алгебре), чтобы в итоге получилось десять? Известно, что если ноль умножить на любую другую величину, то мы будем иметь "ничего". Числа, которое может давать другой конечный результат операции, попросту не существует.
Итогом является невозможность решения.
Почему умножать на нуль можно?
Почему нельзя делать на ноль, а умножать можно? Грубо говоря, именно с этого вопроса начинается вся высшая математика. Узнать ответ можно только тогда, когда появится возможность тщательно изучить формальные математические определения про манипуляции над математическими множествами.
Это не является большой сложностью. В университетах на начальных курсах проходят в первую очередь данную тему. Поэтому те, кто серьезно заинтересовался данным вопросом, могут проштудировать пару учебников по уравнениям с параметрами, линейным функциям и так далее.
Нестандартные приемы запретного деления
И наконец для тех, кто все-таки дочитал до этого места и решил получить окончательный ответ, мы приведем примеры тех случаев, когда можно делить на ноль.
На самом деле, все действия с числами в общей математике возможны. Можно даже доказать, что 1 = 2. Как, спросите вы? Совершенно просто. Путем простейших математических операций на уровне 7 класса:
Х 2 - Х 2 = Х 2 - Х 2
Х (Х - Х) = (Х + Х) (Х - Х)
А теперь рассмотрим основные теории, которые предполагают деление на "ничего".
Нестандартный анализ
Для самых неуемных специально придумали гипердействительные числа в нестандартном анализе. Согласно данной теории, имеются значения, которые не равны нулю, но в то же время являются самыми наименьшими действительными числами по модулю. Сложно? Вы же сами искали ответ.
Теория функций комплексной переменной
Расширенная комплексная плоскость позволяет делить на нуль. Это обусловлено тем, что бесконечность в ней - это не предельно-недостижимая величина, а конкретная точка на пространстве, которую можно увидеть в стереографической проекции.
Таким образом, можно сделать вывод: делить на нуль все-таки можно. Но не в пределах школьной математики. Надеемся, что мы смогли ответить на ваш вопрос. А в будущем вы сможете каждому объяснить эти математические хитросплетения самостоятельно.
