1. Системы линейных уравнений с параметром
Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.
Пример 1.
Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.
{х + (а 2 – 3)у = а,
{х + у = 2.
Решение.
Рассмотрим несколько способов решения данного задания.
1 способ . Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а 1 = b/b 1 ≠ c/c 1). Тогда имеем:
1/1 = (а 2 – 3)/1 ≠ а/2 или систему
{а 2 – 3 = 1,
{а ≠ 2.
Из первого уравнения а 2 = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.
Ответ: а = -2.
2 способ . Решаем методом подстановки.
{2 – у + (а 2 – 3)у = а,
{х = 2 – у,
{(а 2 – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.
После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:
{(а 2 – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.
Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть
{а 2 – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.
Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.
Ответ: а = -2.
Пример 2.
Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.
{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.
Решение.
По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а 1 = b/b 1 = c/c 1). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.
Ответ: а = 4.
2. Системы рациональных уравнений с параметром
Пример 3.
{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.
Решение.
Умножим первое уравнение системы на 2:
{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.
Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).
Ответ: а = 4.
Пример 4.
Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.
{х + у = а,
{у – х 2 = 1.
Решение.
Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1)
. Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:
1,25 = 0,5 + а;
Ответ: а = 0,75.
Пример 5.
Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.
{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.
Решение.
Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:
{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.
Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:
ах + а 2 х – а 2 – а + 2ах – 2а – 2 = 2;
а 2 х + 3ах = 2 + а 2 + 3а + 2.
Квадратный трехчлен а 2 + 3а + 2 представим в виде произведения скобок
(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:
(а 2 + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).
Очевидно, что а 2 + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,
а 2 + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.
Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.
Пример 6.
Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.
{х 2 + у 2 = 9,
{у – |х| = а.
Решение.
Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы
х 2 + у 2 = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2
рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.
Ответ: а = 3.
Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Уравнение вида f (x ; a ) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а .
Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х , удовлетворяющие этому уравнению.
Пример 1. ах = 0
Пример 2. ах = а
Пример 3.
х + 2 = ах
х – ах = -2
х(1 – а) = -2
Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х 0 = -2 корней нет
Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =
Пример 4.
(а 2 – 1) х = 2а 2 + а – 3
(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)
(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)
Если а
= 1, то 0х
= 0
х
– любое действительное число
Если а
= -1, то 0х
= -2
Корней нет
Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).
Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х .
Например:
если а = 5, то х = = ;
если а = 0, то х = 3 и т. д.
Дидактический материал
1. ах = х + 3
2. 4 + ах = 3х – 1
3. а = +
при а = 1 корней нет.
при а = 3 корней нет.
при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1
при а = -1, а = 0 решений нет.
при а = 0, а = 2 решений нет.
при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет
при а = -с , с = 0 решений нет.
Квадратные уравнения с параметром
Пример 1. Решить уравнение
(а – 1)х 2 = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0
При а = 1 6х + 7 = 0
В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.
Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16
20а + 16 = 0
20а = -16
Если а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет действительный корень.
Если а > -4/5 и а 1, то Д > 0,
х
= 
Если а = 4/5, то Д = 0,
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение
х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?
Д = 4(а + 1) 2 – 4(9а – 5) = 4а 2 – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)
4(а – 1)(а – 6) > 0
по т. Виета: х
1 + х
2 = -2(а
+ 1)
х
1 х
2 = 9а
– 5
По условию х 1 < 0, х 2 < 0 то –2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0
| В итоге | 4(а
– 1)(а
– 6) > 0 - 2(а + 1) < 0 9а – 5 > 0 |
а
< 1: а > 6 а > - 1 а > 5/9 |
 (Рис. 1 ) < a < 1, либо a > 6 |
Пример 3. Найдите значения а , при которых данное уравнение имеет решение.
х 2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0
Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а
4а 2 – 16 0
4а (а – 4) 0
а(а – 4)) 0
а(а – 4) = 0
а = 0 или а – 4 = 0
а = 4
(Рис. 2 )
Ответ: а 0 и а 4
Дидактический материал
1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?
2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?
3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2) = 0 имеет более двух корней?
4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?
5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?
1. При а = - 1/7, а = 0, а = 1
2. При а = 0
3. При а = 2
4. При а = 10
5. При а = - 2
Показательные уравнения с параметром
Пример 1 .Найти все значения а , при которых уравнение
9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а *3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.
Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х, получим равносильное уравнение
3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)
Пусть 3 х+1/х = у , тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или
(у – 2)(у – а ) = 0, откуда у 1 =2, у 2 = а .
Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log 3 2 , или х 2 – х log 3 2 + 1 = 0.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 3 2 – 4 < 0.
Если у = а , т.е. 3 х+1/х = а то х + 1/х = log 3 а , или х 2 – х log 3 а + 1 = 0. (3)
Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда
Д = log 2 3 2 – 4 > 0, или |log 3 а| > 2.
Если log 3 а > 2, то а > 9, а если log 3 а < -2, то 0 < а < 1/9.
Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.
Пример 2 . При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?
Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х 1 = -3, х 2 = а = >
а – положительное число.
Ответ: при а > 0
Дидактический материал
1. Найти все значения а, при которых уравнение
25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.
2. При каких значениях а уравнение
2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?
3. При каких значениях параметра а уравнение
4 х - (5а -3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?
Логарифмические уравнения с параметром
Пример 1. Найти все значения а , при которых уравнение
log 4x (1 + ах ) = 1/2 (1)
имеет единственное решение.
Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению
1 + ах = 2х при х > 0, х 1/4 (3)
х = у
ау 2 –у + 1 = 0 (4)
Не выполняется (2) условие из (3).
Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1990
Задание 1 #6329
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых система \[\begin{cases} (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\end{cases}\]
имеет ровно четыре решения.
(ЕГЭ 2018, основная волна)
Второе уравнение системы можно переписать в виде \(y=\pm x\) . Следовательно, рассмотрим два случая: когда \(y=x\) и когда \(y=-x\) . Тогда количество решений системы будет равно сумме количества решений в первом и во втором случаях.
1) \(y=x\)
. Подставим в первое уравнение и получим: \
(заметим, что в случае \(y=-x\)
мы поступим так же и тоже получим квадратное уравнение)
Чтобы исходная система имела 4 различных решения, нужно, чтобы в каждом из двух случаев получилось по 2 решения.
Квадратное уравнение имеет два корня, когда его \(D>0\)
. Найдем дискриминант уравнения (1):
\(D=-4(a^2+4a+2)\)
.
Дискриминант больше нуля: \(a^2+4a+2<0\)
, откуда \(a\in (-2-\sqrt2;
-2+\sqrt2)\)
.
2) \(y=-x\)
. Получаем квадратное уравнение: \
Дискриминант больше нуля: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\)
, откуда \(a\in
\left(\frac{-2-\sqrt2}3; \frac{-2+\sqrt2}3\right)\)
.
Необходимо проверить, не совпадают ли решения в первом случае с решениями во втором случае.
Пусть \(x_0\)
– общее решение уравнений (1) и (2), тогда \
Отсюда получаем, что либо \(x_0=0\)
, либо \(a=0\)
.
Если \(a=0\)
, то уравнения (1) и (2) получаются одинаковыми, следовательно, имеют одинаковые корни. Этот случай нам не подходит.
Если \(x_0=0\)
– их общий корень, то тогда \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\)
, откуда \((2a+2)^2+a^2-1=0\)
, откуда \(a=-1\)
или \(a=-0,6\)
. Тогда вся исходная система будет иметь 3 различных решения, что нам не подходит.
Учитывая все это, в ответ пойдут:
Ответ:
\(a\in\left(\frac{-2-\sqrt2}3; -1\right)\cup\left(-1; -0,6\right)\cup\left(-0,6; -2+\sqrt2\right)\)
Задание 2 #4032
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения \(a\) , при каждом из которых система \[\begin{cases} (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end{cases}\]
имеет единственное решение.
Перепишем систему в виде: \[\begin{cases} ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end{cases}\] Рассмотрим три функции: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . Из системы следует, что \(y\leqslant g\) , но \(y\geqslant h\) . Следовательно, чтобы система имела решения, график \(y\) должен находиться в области, которая задается условиями: “выше” графика \(h\) , но “ниже” графика \(g\) :
(будем называть “левую” область областью I, “правую” область – областью II)
Заметим, что при каждом фиксированном \(a\ne 0\)
графиком \(y\)
является парабола, вершина которой находится в точке \((-1;0)\)
, а ветви обращены либо вверх, либо вниз. Если \(a=0\)
, то уравнение выглядит как \(y=0\)
и графиком является прямая, совпадающая с осью абсцисс.
Заметим, что для того, чтобы исходная система имела единственное решение, нужно, чтобы график \(y\)
имел ровно одну общую точку с областью I или с областью II (это значит, что график \(y\)
должен иметь единственную общую точку с границей одной из этих областей).
Рассмотрим по отдельности несколько случаев.
1) \(a>0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вверх. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) касалась границы области I или границы области II, то есть касалась параболы \(g\) , причем абсцисса точки касания должна быть \(\leqslant -3\) или \(\geqslant 2\) (то есть парабола \(y\) должна коснуться границы одной из областей, которая находится выше оси абсцисс, раз парабола \(y\) лежит выше оси абсцисс).
\(y"=2a(x+1)\)
, \(g"=2x\)
. Условия касания графиков \(y\)
и \(g\)
в точке с абсциссой \(x_0\leqslant -3\)
или \(x_0\geqslant 2\)
: \[\begin{cases}
2a(x_0+1)=2x_0\\
a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_0\leqslant -3\\
&x_0\geqslant 2 \end{aligned}\end{gathered}\right. \end{cases}
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_0\leqslant -3\\
&x_0\geqslant 2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\\
a=\dfrac{x_0}{x_0+1}\\
x_0^2+5x_0+4=0 \end{cases}\]
Из данной системы \(x_0=-4\)
, \(a=\frac43\)
.
Получили первое значение параметра \(a\)
.
2) \(a=0\) . Тогда \(y=0\) и видно, что прямая имеет бесконечное множество общих точек с областью II. Следовательно, это значение параметра нам не подходит.
3) \(a<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).
Найдем \(a\)
, при которых парабола \(y\)
проходит через точку \(B\)
: \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\]
Убеждаемся, что при этом значении параметра вторая точка пересечения параболы \(y=-\frac34(x+1)^2\)
с прямой \(h=-2x-1\)
– это точка с координатами \(\left(-\frac13; -\frac13\right)\)
.
Таким образом, получили еще одно значение параметра.
Так как мы рассмотрели все возможные случаи для \(a\) , то итоговый ответ: \
Ответ:
\(\left\{-\frac34; \frac43\right\}\)
Задание 3 #4013
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end{cases}\]
имеет ровно два решения.
1) Рассмотрим первое уравнение системы как квадратное относительно \(x\)
: \
Дискриминант равен \(D=9y^2\)
, следовательно, \
Тогда уравнение можно переписать в виде \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\]
Следовательно, всю систему можно переписать в виде \[\begin{cases}
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=2x\\
&y=0,5x\end{aligned}\end{gathered}\right.\\
(x-a)^2+(y-a)^2=5a^4\end{cases}\]
Совокупность задает две прямые, второе уравнение системы задает окружность с центром в \((a;a)\)
и радиусом \(R=\sqrt5a^2\)
. Чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы окружность пересекала график совокупности ровно в двух точках. Вот чертеж, когда, например, \(a=1\)
:
Заметим, что так как координаты центра окружности равны, то центр окружности “бегает” по прямой \(y=x\)
.
2) Так как у прямой \(y=kx\)
тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси \(Ox\)
равен \(k\)
, то тангенс угла наклона прямой \(y=0,5x\)
равен \(0,5\)
(назовем его \(\mathrm{tg}\,\alpha\)
), прямой \(y=2x\)
– равен \(2\)
(назовем его \(\mathrm{tg}\,\beta\)
). Заметим, что \(\mathrm{tg}\,\alpha\cdot
\mathrm{tg}\,\beta=1\)
, следовательно, \(\mathrm{tg}\,\alpha=\mathrm{ctg}\,\beta=\mathrm{tg}\,(90^\circ-\beta)\)
. Следовательно, \(\alpha=90^\circ-\beta\)
, откуда \(\alpha+\beta=90^\circ\)
. Это значит, что угол между \(y=2x\)
и положительным направлением \(Oy\)
равен углу между \(y=0,5x\)
и положительным направлением \(Ox\)
:
А так как прямая \(y=x\)
является биссектрисой I координатного угла (то есть углы между ней и положительными направлениями \(Ox\)
и \(Oy\)
равны по \(45^\circ\)
), то углы между \(y=x\)
и прямыми \(y=2x\)
и \(y=0,5x\)
равны.
Все это нам нужно было для того, чтобы сказать, что прямые \(y=2x\)
и \(y=0,5x\)
симметричны друг другу относительно \(y=x\)
, следовательно, если окружность касается одной из них, то она обязательно касается и второй прямой.
Заметим, что если \(a=0\)
, то окружность вырождается в точку \((0;0)\)
и имеет лишь одну точку пересечения с обеими прямыми. То есть этот случай нам не подходит.
Таким образом, для того, чтобы окружность имела 2 точки пересечения с прямыми, нужно, чтобы она касалась этих прямых:
Видим, что случай, когда окружность располагается в третьей четверти, симметричен (относительно начала координат) случаю, когда она располагается в первой четверти. То есть в первой четверти \(a>0\)
, а в третьей \(a<0\)
(но такие же по модулю).
Поэтому рассмотрим только первую четверть.
Заметим, что \(OQ=\sqrt{(a-0)^2+(a-0)^2}=\sqrt2a\)
, \(QK=R=\sqrt5a^2\)
. Тогда \
Тогда \[\mathrm{tg}\,\angle
QOK=\dfrac{\sqrt5a^2}{\sqrt{2a^2-5a^4}}\]
Но, с другой стороны, \[\mathrm{tg}\,\angle QOK=\mathrm{tg}\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac{\mathrm{tg}\,
45^\circ-\mathrm{tg}\,\alpha}{1+\mathrm{tg}\,45^\circ\cdot
\mathrm{tg}\,\alpha}\]
следовательно, \[\dfrac{1-0,5}{1+1\cdot 0,5}=\dfrac{\sqrt5a^2}{\sqrt{2a^2-5a^4}}
\quad\Leftrightarrow\quad a=\pm \dfrac15\]
Таким образом, мы уже сразу получили и положительное, и отрицательное значение для \(a\)
. Следовательно, ответ: \
Ответ:
\(\{-0,2;0,2\}\)
Задание 4 #3278
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения \(a\) , для каждого из которых уравнение \
имеет единственное решение.
(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)
Сделаем замену \(t=5^x, t>0\)
и перенесем все слагаемые в одну часть: \
Получили квадратное уравнение, корнями которого по теореме Виета являются \(t_1=a+6\)
и \(t_2=5+3|a|\)
. Для того, чтобы исходное уравнение имело один корень, достаточно, чтобы полученное уравнение с \(t\)
тоже имело один (положительный!) корень.
Заметим сразу, что \(t_2\)
при всех \(a\)
будет положительным. Таким образом, получаем два случая:
1) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]
2) Так как \(t_2\) всегда положителен, то \(t_1\) должен быть \(\leqslant 0\) : \
Ответ:
\((-\infty;-6]\cup\left\{-\frac14;\frac12\right\}\)
Задание 5 #3252
Уровень задания: Равен ЕГЭ
\[\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{3x^2-(3a+1)x+a}\]
имеет ровно один корень на отрезке \(\) .
(ЕГЭ 2017, резервный день)
Уравнение можно переписать в виде: \[\sqrt{(x-a)(x+a)}=\sqrt{(3x-1)(x-a)}\]
Таким образом, заметим, что \(x=a\)
является корнем уравнения при любых \(a\)
, так как уравнение принимает вид \(0=0\)
. Для того, чтобы этот корень принадлежат отрезку \(\)
, нужно, чтобы \(0\leqslant
a\leqslant 1\)
.
Второй корень уравнения находится из \(x+a=3x-1\)
, то есть \(x=\frac{a+1}2\)
. Для того, чтобы это число было корнем уравнения, нужно, чтобы оно удовлетворяло ОДЗ уравнения, то есть: \[\left(\dfrac{a+1}2-a\right)\cdot
\left(\dfrac{a+1}2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad
-\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\]
Для того, чтобы этот корень принадлежал отрезку \(\)
, нужно, чтобы \
Таким образом, чтобы корень \(x=\frac{a+1}2\)
существовал и принадлежал отрезку \(\)
, нужно, чтобы \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\)
.
Заметим, что тогда при \(0\leqslant a\leqslant 1\)
оба корня \(x=a\)
и \(x=\frac{a+1}2\)
принадлежат отрезку \(\)
(то есть уравнение имеет два корня на этом отрезке), кроме случая, когда они совпадают: \
Таким образом, нам подходят \(a\in \left[-\frac13; 0\right)\)
и \(a=1\)
.
Ответ:
\(a\in \left[-\frac13;0\right)\cup\{1\}\)
Задание 6 #3238
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \
имеет единственный корень на отрезке \(.\)
(ЕГЭ 2017, резервный день)
Уравнение равносильно: \ ОДЗ уравнения: \[\begin{cases} x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end{cases}\] На ОДЗ уравнение перепишется в виде: \
1) Пусть \(a<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ Не подходит под \(a<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.
2) Пусть \(a=0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 0\) . Уравнение перепишется в виде: \ Полученный корень подходит под ОДЗ и входит в отрезок \(\) . Следовательно, \(a=0\) – подходит.
3) Пусть \(a>0\)
. Тогда ОДЗ: \(x\geqslant a\)
и \(x\leqslant 1\)
. Следовательно, если \(a>1\)
, то ОДЗ – пустое множество. Таким образом, \(0
Производная равна \(y"=3x^2-2ax+3a\)
. Определим, какого знака может быть производная. Для этого найдем дискриминант уравнения \(3x^2-2ax+3a=0\)
: \(D=4a(a-9)\)
. Следовательно, при \(a\in (0;1]\)
дискриминант \(D<0\)
. Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\)
положительно при всех \(x\)
. Следовательно, при \(a\in (0;1]\)
производная \(y">0\)
. Следовательно, \(y\)
возрастает. Таким образом, по свойству возрастающей функции уравнение \(y(x)=0\)
может иметь не более одного корня.
Следовательно, для того, чтобы корень уравнения (точка пересечения графика \(y\)
с осью абсцисс) находился на отрезке \(\)
, нужно, чтобы \[\begin{cases} y(1)\geqslant 0\\
y(a)\leqslant 0 \end{cases}\quad\Rightarrow\quad a\in \]
Учитывая, что изначально в рассматриваемом случае \(a\in (0;1]\)
, то ответ \(a\in (0;1]\)
. Заметим, что корень \(x_1\)
удовлетворяет \((1)\)
, корни \(x_2\)
и \(x_3\)
удовлетворяют \((2)\)
. Также заметим, что корень \(x_1\)
принадлежит отрезку \(\)
.
Рассмотрим три случая:
1) \(a>0\)
. Тогда \(x_2>3\)
, \(x_3<3\)
, следовательно, \(x_2\notin .\)
Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\)
в одном из двух случаях:
- \(x_1\)
удовлетворяет \((2)\)
, \(x_3\)
не удовлетворяет \((1)\)
, или совпадает с \(x_1\)
, или удовлетворяет \((1)\)
, но не входит в отрезок \(\)
(то есть меньше \(0\)
);
- \(x_1\)
не удовлетворяет \((2)\)
, \(x_3\)
удовлетворяет \((1)\)
и не равен \(x_1\)
.
Заметим, что \(x_3\)
не может быть одновременно меньше нуля и удовлетворять \((1)\)
(то есть быть больше \(\frac35\)
). Учитывая это замечание, случаи записываются в следующую совокупность: \[\left[
\begin{gathered}\begin{aligned}
&\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\
3-a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\
&\begin{cases}
\dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\
3-a> Решая данную совокупность и учитывая, что \(a>0\)
, получим: \
2) \(a=0\) . Тогда \(x_2=x_3=3\in .\) Заметим, что в этом случае \(x_1\) удовлетворяет \((2)\) и \(x_2=3\) удовлетворяет \((1)\) , то есть уравнение имеет два корня на \(\) . Это значение \(a\) нам не подходит.
3) \(a<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) и \(x_3\notin \) . Рассуждая аналогично пункту 1), нужно решить совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решая данную совокупность и учитывая, что \(a<0\) , получим: \\]
Ответ:
\(\left(-\frac{13}5;-\frac{12}5\right] \cup\left[\frac{12}5;\frac{13}5\right)\)
Рассмотрим теперь квадратное уравнение
где - неизвестная величина, - параметры (коэффициенты) уравнения.
К критическим значениям параметра следует отнести, прежде всего, значение При указанном значении параметра уравнение (1) принимает вид
следовательно, порядок уравнения понижается на единицу. Уравнение (2) является линейным уравнением и метод его решения рассматривался ранее.
При другие критические значения параметров определяются дискриминантом уравнения. Известно, что при уравнение (1) корней не имеет; при оно имеет единственный корень при уравнение (1) имеет два различных корня и
1). Найти все значения параметра для которых квадратное уравнение
а) имеет два различных корня;
б) не имеет корней;
в) имеет два равных корня.
Решение. Данное уравнение по условию является квадратным, а поэтому Рассмотрим дискриминант данного уравнения
При уравнение имеет два различных корня, т.к.
При уравнение корней не имеет, т.к. Данное квадратное уравнение не может иметь двух равных корней, т.к. при а это противоречит условию задачи.
Ответ: При уравнение имеет два различных корня.
При уравнение корней не имеет.
2).Решить уравнение. Для каждого допустимого значения параметра решить уравнение
Решение. Рассмотрим сначала случай, когда
(в этом случае исходное уравнение становится линейным уравнением). Таким образом, значение параметра и являются его критическими значениями. Ясно, что при корнем данного уравнения является а при его корнем является
Если т.е. и то данное уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант:
При всех значениях дискриминант принимает неотрицательные значения, причем он обращается в нуль при (эти значения параметра тоже являются его критическими значениями).
Поэтому, если то данное уравнение имеет единственный корень
При этом значению параметра соответствует корень
а значению соответствует корень
Если же то уравнение имеет два различных корня. Найдем эти корни.
Ответ. Если то если то если то
если то , .
3).Решить уравнение. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?
Решение. Данное уравнение равносильно системе
Наличие квадратного уравнения и условие единственности решения, естественно, приведут к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие х ≠ -3 должно привлечь внимание. И «тонкий момент» заключается в том, что квадратное уравнение системы может иметь два корня! Но обязательно только один из них должен равняться -3. Имеем
D = а 2 - 4 , отсюда D =0, если а = ±2; х = -3 - корень уравнения х 2 – а х +1 = 0 при
а = -10/3, причем при таком значении а второй корень квадратного уравнения отличен
Ответ. а = ±2 или а = -10/3.
4).Решить уравнение. При каких значениях параметра а уравнение
(а - 2)x 2 + (4 - 2а ) х +3 = 0 имеет единственное решение?
Решение. Понятно, что надо начинать со случая а = 2. Но при а = 2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если а ≠ 2 , то данное уравнение - квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра - это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при а = 2 или а = 5 . Поскольку мы установили, что а= 2 не подходит, то
Ответ , а = 5.
9).Решить уравнение. При каких значениях параметра а уравнение ах 2 - 4х + а + 3 = 0 имеет более одного корня?
Решение . При а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При а ≠ 0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант 16 – 4а 2 – 12а положительный. Отсюда получаем -4 <а <1.
Однако в полученный промежуток (-4; 1) входит число 0.Ответ. -4<а <0 или 0<а <1.
10). При каких значениях параметра а уравнение а (а +3)х 2 + (2а +6)х – 3а – 9 = 0 имеет более одного корня?
Решение . Стандартный шаг - начать со случаев а = 0 и а = -3. При а = 0 уравнение имеет единственное решение. Любопытно, что при а = -3 решением уравнения служит любое действительное число. При а ≠ -3 и а ≠ 0, разделив обе части данного уравнения на а + 3, получим квадратное уравнение ах 2 + 2х - 3 = 0, дискриминант которого 4 (1 + За ) положителен при а > ⅓. Опыт предыдущих примеров подсказывает, что из промежутка
(-⅓ ;∞) надо исключить точку а = 0, а в ответ не забыть включить а = -3.
Ответ. а = -3, или - ⅓ < а < 0, или а > 0.
11).Решить уравнение :
Решение. Сначала заметим, что при данное уравнение равносильно уравнению которое не имеет решений. Если же
