Каждый современный человек в школьную бытность во время решения математических задач нередко сталкивался с разнообразными задачками на дроби. Их достаточно много, потому имеет смысл рассмотреть различные варианты решения самых основных подобных задач.
Правильные и неправильные дроби
Верхнее число у любой дроби носит название числителя, в то время, как нижнее число – это знаменатель. Обыкновенные дроби - это частные от двух чисел, причем, одно из этих них находится в числителе у дроби, а второе, соответственно, является знаменателем этой дроби. Виды таких обыкновенных дробей определяются сравнением значений их знаменателя и числителя.
Правильная дробь
В том случае, когда знаменатель у дроби является натуральным числом, которое по своему значению больше ее числителя, также натурального числа, то дробь носит название правильной. Примерами таких могут быть: 8/19; 9/14; 31/162; 5/37 и так далее.
Если же знаменатель у дроби меньше, либо же равен ее числителю, то такая дробь уже называется неправильной. Например, это такие, как: 7/4; 19/6; 15/3; 231/83 и тому подобные.
Зачем переводится неправильная дробь в правильную?
Такая математическая манипуляция необходима, если выполняется действие с несколькими дробями, например, их слагают.
Совет
Если есть смешанная дробь, то сначала ее следует перевести в неправильную, потом уже выполнять другие математические действия.
Переведение в неправильную дробь
Чтобы какую-нибудь смешанную дробь превратить в неправильную, потребуется, для начала, целую ее часть умножить на знаменатель ее дробной части, а потом добавить числитель к данному произведению. Далее сумма берется, как числитель, но при том же самом, что и прежде знаменателе. Для осуществления перевода неправильной дроби в правильную, потребуется числитель такой неправильной дроби поделить на ее знаменатель. Далее, полученное таким путем целое число следует взять целой частью дроби, в то время, как остаток, если он, конечно, есть, сделать числителем дробной части у правильной дроби. Знаменатель пишется тот же самый, что и был. Чтобы перевести какую-либо неправильную дробь в десятичную, надо сначала выяснить, существует ли вообще такой множитель, который позволяет привести знаменатель ее дробной части в неправильном формате к числу, которое равняется десяти или десятке, возведенной в любую степень. То есть, 10, 100, 1000 и так далее. Если же такой множитель имеется, то следует умножить как числитель, так и знаменатель у неправильной дроби на данный множитель, тем самым как бы проверяя его. А после умноженный числитель потребуется через запятую приписать к целой части у неправильной дроби.
Нельзя перевести с округлением до десятых
В том случае, когда подобного множителя, как такового, не существует, это обозначает, что такая неправильная дробь не имеет четкого эквивалента в десятичной форме. Проще говоря, далеко не каждую из неправильных дробей представляется возможным перевести, сделав десятичной. В таком случае, потребуется найти приблизительное, максимально соответствующее значение дроби. Тут все зависит от требуемой в условии той ли иной задачи степени точности. Просчитать данную дробь проще всего на калькуляторе, но можно это также в уме или банально в столбик. Например, «41/7 = 5(6/7) = 5,9», это с округлением до десятых, или «= 5,86», когда требуется округлять до сотых, а также «= 5,857», если действует округление до тысячных. Многие из дробей четко в десятичные не переводятся, потому считать их проще не в уме и не в столбик, а посредством калькулятора.
Вывод:
Без манипуляций с дробями не представляется возможным ни один школьный курс математики. Да и в повседневности редко приходится иметь дело лишь с целыми числами, а потому переводить правильные дроби в неправильные, либо превращать в такие смешанные дроби нужно уметь каждому. Это очень просто и потому запомнить, как следует это делать, можно буквально после пары практических примеров, решенных на бумаге, а затем и вообще - в уме. С десятичными дробями ситуация несколько иная и не все можно точно перевести в десятичный вид.
Математические дроби
Десятичные числа, такие как 0,2; 1,05; 3,017 и т.п. как слышатся, так и пишутся. Ноль целых две десятых, получаем дробь . Одна целая пять сотых, получаем дробь . Три целых семнадцать тысячных, получаем дробь . Цифры до запятой в десятичном числе - это целая часть дроби. Цифра после запятой - числитель будущей дроби. Если после запятой однозначное число - в знаменателе будет 10, если двухзначное - 100, трехзначное - 1000 и т.д. Некоторые полученные дроби можно сократить . В наших примерах 
Преобразование дроби в десятичное число
Это обратное предыдущему преобразованию. Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, или
Если дробь, например . В этом случае необходимо воспользоваться основным свойством дроби и преобразовать знаменатель до 10 или 100, или 1000 ... В нашем примере, если домножить числитель и знаменатель на 4, получим дробь , которую возможно записать в виде десятичного числа 0,12.
Некоторые дроби проще разделить, чем преобразовать знаменатель. Например,
Некоторые дроби невозможно преобразовать в десятичные числа!
Например,
Преобразование смешанной дроби в неправильную
Смешанную дробь, например , легко преобразовать в неправильную. Для этого необходимо целую часть умножить на знаменатель (низ) и сложить с числителем (верх), знаменатель (низ) оставить без изменения. То есть
При преобразовании смешанной дроби в неправильную, можно вспомнить, что Можно использовать сложение дробей
Преобразование неправильной дроби в смешанную (выделение целой части)
Неправильную дробь можно перевести в смешанную, выделив целую часть. Рассмотрим пример, . Определяем, сколько целых раз "3" вмещается в "23". Или 23 делим на 3 на калькуляторе, целое число до запятой - искомое. Это "7". Далее определяем числитель уже будущей дроби: полученную "7" умножаем на знаменатель "3" и из числителя "23" вычитаем полученное.
Как бы находим то лишнее, что остается от числителя "23", если изъять максимальное количество "3". Знаменатель оставляем без изменения. Все сделано, записываем результат
Нехитрые математические правила и приемы, если они не используются постоянно, забываются быстрее всего. Еще быстрее уходят из памяти термины.
Одно из таких простых действий – преобразование неправильной дроби в правильную или, по-другому – смешанную.
Неправильная дробь
Неправильной называется дробь, у которой числитель (число над дробной чертой) больше или равно знаменателю (число под чертой). Такая дробь получается при сложении дробей или умножении дроби на целое число. По правилам математики такую дробь обязательно нужно превратить в правильную.
Правильная дробь
Логично предположить, что правильными называются все остальные дроби. Строгое определение – правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Дробь, у которой есть целая часть иногда называется смешанной.
Преобразование неправильной дроби в правильную
- Первый случай: числитель и знаменатель равны друг другу. В результате преобразования любой такой дроби получится единица. Неважно, три третьих это или сто двадцать пять сто двадцать пятых. По сути, такая дробь обозначает действие деления числа на само себя.
- Второй случай: числитель больше знаменателя. Здесь нужно вспомнить метод деления чисел с остатком.
Для этого нужно найти самое близкое к значению числителя число, которое делится на знаменатель без остатка. Например, у вас есть дробь девятнадцать третьих. Наиболее близкое число, которое можно разделить на три – это восемнадцать. Получится шесть. Теперь отнимите от числителя полученное число. Получим единицу. Это и есть остаток. Запишите результат преобразования: шесть целых и одна треть.
Но прежде чем приводить дробь к правильному виду, нужно проверить, можно ли её сократить.
Сокращение дроби возможно, если у числителя и знаменателя есть общий делитель. То есть такое число, на которое и то, и другое делится без остатка. Если таких делителей несколько, нужно найти наибольший.
Например, у всех четных чисел такой общий делитель – двойка. А у дроби шестнадцатых двенадцатых, есть еще один общий делитель – четверка. Это наибольший делитель. Разделите числитель и знаменатель на четыре. Результат сокращения: четыре третьих. А теперь, в качестве тренировки, преобразуйте эту дробь в правильную.
Само слово - дробь означает, что число дробное, оно меньше целого (как минимум единицы).
Следовательно, необходимо выделить целое число из числителя. Например, число 30/4 - дробь неправильная, поскольку 30 больше, чем 4. Значит, нужно просто разделить 30 на 4 и получим число до запятой - 7, его то и ставим перед дробью. Умножим 7 на 4 и вычтем это число из 30 - получится 2 - оно будет в числителе дроби. Итог - 7 2/4, сокращаем - 7 1/2. В вашем примере, ответ - 2 3/4.
Для того необходимо чтслитель: на знаменатель.
То целое, что получилось - пишите в числитель. Знаменатель тот, что был. Когда поделите - записывайте в целую часть.
11:4=2 (3 остаток).
Получаем правил-ую дробь: 2 - целых 34
Чтобы сделать из неправильной дроби правильную, нужно выявить целые части и отнять их из неправильной дроби. В нашем случае неправильная дробь 11/4. Целых частей будет две (2). Вычитаем их и получаем правильную дробь: две целых три четвртых (2 целых 3/4).
Неправильную дробь, в нашем случае 11/4 нужно перевести в правильную, т.е. в этом случае смешанную дробь. Если по-простому, то дробь неправильная, потому что в ней помимо дроби есть и целое число. Это как стоит в холодильнике тортик непочатый, хоть и порезанный, а на столе - осталось несколько кусочков от второго. Когда говорим об 11/4, то мы уже не знаем о двух целых тортах, видим лишь одиннадцать крупных кусков. 11 разделили на 4, получили 2, а остаток 11-8=3. Итак, 2 целых 3/4, теперь дробь правильная, в ней числитель поменьше знаменателя будет, но смешанная, так как без целых единиц расчет не обошелся.
Чтобы из неправильной дроби сделать правильную, надо числитель разделить на знаменатель. Полученное целое число выносим перед дробью, а остаток вписываем в числитель. Знаменатель не изменяется.
Например: дробь 11/4 - неправильная, где числитель равен 11, а знаменатель - 4.
Сначала 11 делим на 4, получим 2 целых и 3 остаток. Выносим 2 перед дробью, а остаток 3 пишем в числитель 3/4. Таким образом дробь становится правильной - 2 целых и 3/4.
У неправильной дроби знаменатель оказывается меньше числителя, что говорит о том, что в этой дроби имеются целые части, которые можно выделить и получить правильную дробь с целым числом.
Самый простой способ поделить числитель на знаменатель. Полученное целое число ставим слева от дроби, а остаток пишем в числитель, знаменатель остается тем же самым.
Например 11/4. Делим 11 на 4 и получаем 2 и остаток 3. Двойка -это число, которое ставим рядом с дробью, а тройку пишем в числитель дроби. Выходит 2 и 3/4.
Чтобы ответить на этот несложный вопрос, можно решить такую же несложную задачку:
Петя и Валя пришли в компанию сверстников. Всех вместе их стало 11. У Вали были с собой яблоки (но не много) и чтобы угостить всех Петя разрезал каждое на четыре части и раздал. Хватило всем и даже пять кусочков осталось.
Сколько яблок раздал Петя и сколько яблок осталось? Сколько их было всего?
А можно записать это математически
11 кусочков яблока это в нашем случае 11/4 - получили неправильную дробь, так как числитель больше знаменателя.
Чтобы выделить целую часть (преобразовать неправильную дробь в правильную), нужно числитель разделить на знаменатель , неполное частное (в нашем случае это 2) записать слева, остаток (3)оставить в числителе а знаменатель не трогать.
В результате получим 11/4 = 11:4 = 2 3/4 яблока раздал Петя.
Аналогично 5/4 = 1 1/4 яблок осталось.
(11+5)/4 = 16/4 = 4 яблока принесла Валя
В этой статье мы поговорим про смешанные числа . Сначала дадим определение смешанных чисел и приведем примеры. Дальше остановимся на связи между смешанными числами и неправильными дробями. После этого покажем, как перевести смешанное число в неправильную дробь. Наконец, изучим обратный процесс, который называется выделением целой части из неправильной дроби.
Навигация по странице.
Смешанные числа, определение, примеры
Математики договорились, что сумму n+a/b , где n - натуральное число , a/b – правильная обыкновенная дробь , можно записывать без знака сложения в виде . Например, сумму 28+5/7 можно кратко записать как . Такую запись назвали смешанной, а число, которое соответствует данной смешанной записи, назвали смешанным числом.
Так мы подошли к определению смешанного числа.
Определение.
Смешанное число – это число, равное сумме натурального числа n и правильной обыкновенной дроби a/b , и записанное в виде . При этом число n называют целой частью числа , а число a/b называют дробной частью числа .
По определению смешанное число равно сумме свой целой и дробной части, то есть, справедливо равенство , которое можно записать и так: .
Приведем примеры смешанных чисел
. Число - это смешанное число, натуральное число 5
– целая часть числа , а - дробная часть числа . Другими примерами смешанных чисел являются 
.
Иногда можно встретить числа в смешанной записи, но имеющие дробной частью неправильную дробь, например, или . Эти числа понимают как сумму их целой и дробной части, например, 
и 
. Но такие числа не подходят под определение смешанного числа, так как дробной частью смешанных чисел должна быть правильная дробь.
Число - это тоже не смешанное число, так как 0 не натуральное число.
Связь между смешанными числами и неправильными дробями
Проследить связь между смешанными числами и неправильными дробями лучше всего на примерах.
Пусть на подносе лежит торт и еще 3/4 такого же торта. То есть, по смыслу сложения на подносе находится 1+3/4 торта. Записав последнюю сумму в виде смешанного числа, констатируем, что на подносе находится торта. Теперь целый торт разрежем на 4 равные доли. В результате на подносе окажется 7/4 торта. Понятно, что «количество» торта при этом не изменилось, поэтому .
Из рассмотренного примера явно видна такая связь: любое смешанное число можно представить в виде неправильной дроби .
А теперь пусть на подносе находятся 7/4 торта. Сложив из четырех долей целый торт, на подносе окажется 1+3/4 , то есть, торта. Отсюда видно, что .
Из этого примера понятно, что неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа . (В частном случае, когда числитель неправильной дроби делится нацело на знаменатель, неправильную дробь можно представить в виде натурального числа, например, , так как 8:4=2 ).
Перевод смешанного числа в неправильную дробь
Для выполнения различных действий со смешанными числами оказывается полезным навык представления смешанных чисел в виде неправильных дробей. В предыдущем пункте мы выяснили, что любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Пришло время разобраться, как осуществляется такой перевод.
Запишем алгоритм, показывающий как перевести смешанное число в неправильную дробь :
Рассмотрим пример перевода смешанного числа в неправильную дробь.
Пример.
Представьте смешанное число в виде неправильной дроби.
Решение.
Выполним все необходимые шаги алгоритма.
Смешанное число равно сумме его целой и дробной части: .
Записав число 5 как 5/1 , последняя сумма примет вид .
Чтобы закончить перевод исходного смешанного числа в неправильную дробь, осталось выполнить сложение дробей с разными знаменателями : 
.
Краткая запись всего решения такова: 
.
Ответ:
Итак, чтобы осуществить перевод смешанного числа в неправильную дробь, нужно выполнить следующую цепочку действий: . В итоге получена 
, которую мы и будем использовать в дальнейшем.
Пример.
Запишите смешанное число в виде неправильной дроби.
Решение.
Воспользуемся формулой для перевода смешанного числа в неправильную дробь. В этом примере n=15
, a=2
, b=5
. Таким образом, 
.
Ответ:
Выделение целой части из неправильной дроби
В ответе не принято записывать неправильную дробь. Неправильную дробь предварительно заменяют либо равным ей натуральным числом (когда числитель делится нацело на знаменатель), либо проводят так называемое выделение целой части из неправильной дроби (когда числитель не делится нацело на знаменатель).
Определение.
Выделение целой части из неправильной дроби – это замена дроби равным ей смешанным числом.
Осталось узнать, как можно выделить целую часть из неправильной дроби.
Это очень просто: неправильная дробь a/b равна смешанному числу вида , где q - неполное частное, а r – остаток от деления a на b . То есть, целая часть равна неполному частному от деления a на b , а остаток равен числителю дробной части.
Докажем это утверждение.
Для этого достаточно показать, что . Переведем смешанное в неправильную дробь так, как мы это делали в предыдущем пункте: . Так как q – неполное частное, а r – остаток от деления a на b , то справедливо равенство a=b·q+r (при необходимости смотрите
