Урок по теме «Область определения и область значений функции» проводится в 10 классе в курсе алгебры и начал анализа. На объяснение материала по данной теме автор отводит 8:47 минут. этого времени достаточно для того, чтобы обучающиеся прослушали необходимую информацию, зафиксировали ее в своих тетрадях и поняли содержание материала. Примерно столько же времени затрачивает учитель на уроке при объяснении нового материала.

Автор позаботился об учителях, нагрузка которых итак достаточно велика, поэтому разработал данный видеоурок с учетом всех требований. То есть, урок соответствует возрасту обучающихся, их уровню образования и особенностей восприятия материала. Учителю останется лишь подобрать материал для закрепления новой информации, полученной из данного урока.

Урок начинается с информации о том, что функция задается вместе с областью определения. Далее автор определяет переменные xи y? как аргумент и значение функции соответственно. После этого вводятся определения понятий область определения функции и область значений функции.

Затем рассматривается пример, где функция задана графически, и необходимо определить ее область определения. Решение данного примера подробно расписывается на экране. Автор поясняет каждый момент, где обучающиеся могут допустить ошибки. Все объяснение сопровождается наглядной иллюстрацией на рисунке.

Далее автор переходит к пункту «Область определения рациональной функции». Для обучающихся говорится о том, что в область определения рациональных функций не входят те значения аргумента, которые обращают знаменатель в нуль. Это поясняется на случае общего написания рациональной функции.

Затем на этот случай рассматривается пример. Здесь необходимо найти область определения рациональной функции. Решение пример основано на той информации, которую только что автор поведал обучающимся. То есть, он находит все те значения, которые обращают знаменатель в нуль и исключает их из множества действительных чисел, получая, таким образом, область определения функции.

после этого предлагается рассмотреть еще один пример, где требуется найти область определения рациональной функции. Но здесь наблюдается следующая особенность: знаменатель дроби никогда не обращается в нуль. Поясняя это, автор делает вывод, что областью определения данной функции является множество действительных чисел. После этого примера предлагается запомнить закономерность, которая только что была использована в примере.

Далее автор переходит к пункту «Область определения иррациональной функции». Здесь важно запомнить то, что подкоренное выражение никогда не может быть отрицательным. Это подкрепляется математической интерпретацией на математической языке. Здесь же поясняется, что если иррациональное выражение в записи функции находится в знаменателе, то подкоренное выражение будет не просто неотрицательным, а строго положительным.

К этому материалу прилагается пример, где требуется найти область определения иррациональной функции. Решая неравенство: подкоренное выражение неотрицательно, автор получает значения аргумент, которые образуют область определения заданной функции.

Затем рассматривается область определения функции с натуральным логарифмом. Сначала дается теоретический экскурс по данному материалу, а затем приводится пример с подробным описанием каждого шага решения.

После всего теоретического материала автор предлагает рассмотреть три примера, где требуется найти область определения и область значений функции, заданной графически. Это можно использовать как небольшой элемент закрепления выданного только что материала.

Урок будет полезен не только учителям, но и обучающимся, которые занимаются самообразованием или пропустили урок по данной теме по определенным причинам. Из этого урока обучающиеся смогут почерпнуть не только теоретический материал, но и подкрепить полученные знания практическими упражнениями.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Область определения и область значений функции.

Из определения функции следует, что функция игрек равен эф от икс задается вместе с ее областью определения икс большое.

Для изучения этой темы нам необходимо вспомнить: как называется переменная икс? число у?

Независимую переменную икс называют аргументом функции, а число игрек, соответствующее числу икс, называют значением функции эф в точке икс и обозначают эф от икс

Какое множество называется областью определения функции?

Если нам дана функция у=f(х),то ее область определения - это множество значений «икс» , для которых существуют значения «игрек»и обозначают дэ большое от эф.

Область значений функции - множество, состоящее из всех чисел эф от х, таких, что икс принадлежит икс большому и обозначают е большое от эф.

Рассмотрим пример. Функция задана графически. Определить дэ большое от эф.

Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:
интервал от минус бесконечности до а, луч от вэ до цэ и интервал от цэ до плюс бесконечности. Действительно так, если взять любое значение «икс» из интервала от минус бесконечности до а, или из полуинтервала от вэ до цэ, или из интервала от цэ до плюс бесконечности, то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».

Как ?

Рассмотрим примеры.

Первое.

Область определения рациональной функции, т.е. аргумент у которой есть в содержится в знаменателе.

Запомните:

значения аргумента, которые обращают знаменатель в ноль - не входят в область определения данной функции .

Предположим, дана функция, содержащая некоторую дробь единица, деленная на альфа от ихс. Как вы знаете, на ноль делить нельзя: поэтому альфа от икс не равно нулю

Найти область определения функции

эф от икс равен дроби, числитель которой икс плюс два, а знаменатель - икс квадрат минус три. Данная функция задана аналитически.

Решение : обращаем внимание на знаменатель, он должен быть не нулевым. Приравняем его к нулю и найдем значение аргумента которые обращают знаменатель функции в ноль:

икс квадрат минус триравно нулю.

икс квадрат равно трем.

Полученное уравнение имеет два корня:

минус квадратный корень из трех, квадратный корень из трех.

Данные значения не входят в область определения функции , так как при этих значениях знаменатель дроби обращается в ноль.

Ответ : дэ большое от эф равен объединению промежутков:интервал от минус бесконечности до квадратного корня из трех,интервал от минус квадратного корня из трех до квадратного кореня из трех.

и интервал от квадратного кореня из трех

до плюс бесконечности.

Рассмотрим еще пример.

Найти область определения функции

эф от икс равен дроби, числитель которой единица, а знаменатель - икс квадрат плюс один.

Рассмотрим выражение стоящее в знаменателе: к квадрату числа икс прибавляют единицу он всегда положительно т.е. какое бы значение «икс» мы не взяли, знаменатель не обратится в ноль, более того, будет всегда положителен, значит область определения функции, дэ большое от эф равено множеству всех действительных чисел.

определена на всей числовой оси.

Запомните!

при любом значении «икс» и положительной константе ка :
икс квадрат плюс ка больше нуля.

Второе.

Область определения иррациональной функции (содержащий радикал или корень).

подкоренное выражение неотрицательно

Функция вида игрек равен квадратный корень из альфа от икс определена только при тех значениях икс из области определения дэ от альфа, когда альфа от икс не отрицательно, т.е. больше или равна нулю. Если функция содержащая радикал в знаменателе дроби, то альфа от х строго больше нуля.

Найти область определения функции
эф от икс равен квадратный корень из трех минус два икс.

Решение : подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

три минус два икс больше или равно нулю

минус два икс больше или равно минус трем

два икс меньше или равно трем

икс меньше или равнотрем вторым

Ответ: дэ большое от эф равен полуинтервалу от минус бесконечности до трех вторых.

Третье .

Область определения функций с натуральным логарифмом.

Пусть функция содержит натуральный логарифм альфа от икс., то в её область определения входят только те значения икс, удовлетворяющие неравенству альфа от икс строго больше нуля.

Если логарифм находится в знаменателе: то дополнительно накладывается условие альфа от икс не равно единице, (так как натуральный логарифм единицы равен нулю).

Найти область определения функции

эф от икс равен дроби числитель равен единице, а знаменатель - натуральный логарифм из выражения икс плюс три.

Решение : в соответствии с вышесказанным составим и решим систему:

икс плюс три больше нуля

и икс плюс три не равно единице

икс больше минус трех и икс не равно минус двум.

Изобразим множество решений системы на прямой и сделаем вывод.

Ответ: дэ большое от эф равно объединению промежутков: интервалам от минус трех до минус двух и от минус двух до плюс бесконечности.

Дэ большое от эф равен отрезку от минус четырех до двух;

Е большое от эф равно отрезку от минус одного до двух;

Найтиобласть определения и область значений функции.

Дэ большое от эф равен интервалу от минус двух до пяти;

Е большое от эф равно отрезку от минус двух до трех;

Найтиобласть определения и область значений функции.

Дэ большое от эф равен отрезку от минус четырех до трех;

Е большое от эф равно отрезку от минус пяти до нуля;

Если задано множество чисел X и указан способ f , по которому для каждого значения х ЄX ставится в соответствие только одно число у . Тогда считается заданной функция y = f (х ), у которой область определения X (обычно обозначают D (f ) = X ). Множество Y всех значений у , для которых есть как минимум одно значение х ЄX , такое, что y = f (х ), такое множество называют множеством значений функции f (чаще всего обозначают E (f )= Y ).

Или зависимость одной переменной у от другой х , при которой каждому значению переменной х из определенного множества D соответствует единственное значение переменной у , называется функцией .

Функциональную зависимость переменной у от х часто подчеркивают записью у(х), которую читают игрек от икс.

Область определения функции у (х ), т. е. множество значений ее аргумента х , обозначают символом D (y ), который читают дэ от игрек.

Область значений функции у (х ), т. е. множество значений, которые принимает функция у, обозначают символом Е (у ), который читают е от игрек.

Основными способами задания функции являются:

а) аналитический (с помощью формулы y = f (х )). К этому способу можно отнести и случаи, когда функция задается системой уравнений. Если функция задана формулой, то область ее определения составляют все те значения аргумента, при которых выражение, записанное в правой части формулы, имеет значения.

б) табличный (с помощью таблицы соответствующих значений х и у ). Таким способом часто задается температурный режим или курсы валют, но этот способ не такой наглядный, как следующий;

в) графический (с помощью графика). Это один из самых наглядных способов задания функции, поскольку по графику сразу "читаются" изменения. Если функция у (х ) задана графиком, то область ее определения D (y ) есть проекция графика на ось абсцисс, а область значений Е (у ) - проекция графика на ось ординат (смотри рисунок).

г) словестный . Этот способ часто применяется в задачах, а точнее в описании их условия. Обычно этот способ заменяют одним из приведенных выше.

Функции y = f (х ), x ЄX , и y = g (х ), x ЄX , называются тождественно равными на подмножестве М СX , если для каждого x 0 ЄМ справедливо равенство f (х 0) = g (х 0).

График функции y = f (х ) можно представить, как множество таких точек (х ; f (х )) на координатной плоскости, где х - произвольная переменная, из D (f ). Если f (х 0) = 0, где х 0 то точка с координатами (x 0 ; 0) - это точка, в которой график функции y = f (х ) пересекается с осью Оx . Если 0ЄD (f ), то точка (0; f (0)) - это точка, в которой график функции у = f (x ) пересекается с осью Оу .

Число х 0 из D (f ) функции y = f (х ) это нуль функции, тогда, когда f (х 0) = 0.

Промежуток М СD (f ) это промежуток знакопостоянства функции y = f (х ), если либо для произвольного x ЄМ верно f (х ) > 0, либо для произвольного х ЄМ верно f (х ) < 0.

Есть приборы , которые вырисовывают графики зависимостей между величинами. Это барографы - приборы для фиксации зависимости атмосферного давления от времени, термографы - приборы для фиксации зависимости температуры от времени, кардиографы - приборы для графической регистрации деятельности сердца. У термографа есть барабан, он равномерно вращается. Бумаги, намотанной на барабан, касается самописец, который в зависимости от температуры поднимается и опускается и вырисовывает на бумаге определенную линию.

От представления функции формулой можно перейти к ее представлению таблицей и графиком.

При изучении математики очень важно понимать, что такое функция, ее области определения и значения. С помощью исследования функций на экстремум можно решить многие задачи по алгебре. Даже задачи по геометрии иногда сводятся к рассмотрению уравнений геометрических фигур на плоскости.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

ФУНКЦИЯ - F(X) y=f(x).

Что такое функция f(х)?
Как бывший школьный учитель математики напоминаю тем, кто забыл.
Y – функция, Х-аргумент, f- закон, по которому находим Y.
Пример:
Поезд идет со средней скоростью 30 км. в час. Два часа в пути – 60 км прошел. 4 часа в пути – 120 км. и т.д. Чем больше времени поезд в пути, тем большее расстояние он проходит. Х и Y –переменные величины, и функция y =f(x) ,где Y – расстояние, a X – время в пути, и есть необходимый закон.
Вспомнили? Я тоже вспомнил, нo другое.
По окончании физмата Хабаровского пединститута меня направили на работу в Биробиджан, в школу номер 6, которая располагалась в поселке Сопка, за рекой, где стоял военный гарнизон, довольно многочисленный, со своим госпиталем, Домом офицеров, мастерскими по ремонту танков, деревянными двухэтажными домами, где жили семьи военослужащих.
Школа имела два здания: большое, кирпичное, двухэтажное, и маленькое, деревянное, одноэтажное, где располагались классы начальной школы – с 1-го по 4-й. В ней меня и поселили. В маленьком угловом классе я жил с бабушкой, которая поехала со мной, зная мою житейскую неприспособленность. Она мне варила, стирала, сидела рядом, когда я проверял тетради, защищала от работников местного КЭЧ, которые сильно хотели забрать наши две кровати, числящиеся у них на учете.
Зарплата была минимальная для учителя. 18 рабочих часов в неделю, три 5-х класса, самый трудный для учителя возраст. Денег нехватало даже на еду, и бабушка отказалась от мяса, ела картошку, так как считала, что мясо стоит слишком дорого. Хорошо, что не нужно было платить за свет, печное отопление и канализацию, которой не было. Кроме того, в классе, в котором я был классным руководителем, учились дети высокопоставленных офицеров гарнизона: сын командира части полковника Андронова, сын начальника госпиталя подполковника мед, службы Заровняева, дочь начмеда Жекова, дети врачей госпиталя и офицеров. Контроль за моей деятельностью, как воспитателя, был постоянный. Надо сказать, что дети этих высоких чинов были исключительно дисциплинированными, все они учились только на отлично, с ними было приятно работать. Мне был 21 год, я играл с ними в баскетбол, футбол, но, к сожалению, это не прибавляло денег в мой кошелек. К тому же, в классе учились и другие дети, которые резко отличались по уровню развития от детей военных.
Но мне, случайно, улыбнулась удача. Моя коллега сообщила мне, что требуется, временно, преподаватель математики в «Школу паровозных машинистов», которая существовала в то время в Биробиджане.
Это был хороший приработок. Меня приняли преподавателем по совместительству.
Известно, что на тепловозную тягу Дальний Восток перешел последним на Транссибе.
Студентами «Школы" были мужики, все старше меня: демобилизованные солдаты, бывшие заключенные, которых на Дальнем Востоке всегда было много, бывшие деревенские жители, часто малограмотные, хотя принимали в школу только закончивших семилетку. Школа давала им шанс хорошего заработка, и они «грызли гранит науки» очень добросовестно, хотя многим было трудно.

Однажды, когда я проверял тетради, бабушка привела посетителя, который искал в здании средней школы «Владимира Давидовича». Оказалось – курсант «Школы» по имени Вася Дорошенко, бывший деревенский житель из пригородного совхоза. Поставил на стол чемоданчик, открыл. Там – бутылка водки с закуской: деревенская колбаса, копченое мясо, деревенский хлеб. Я – опешил.
Васю я приметил давно, Он ничего не понимал из моих обьяснений, от опросов уклонялся, контрольные списывал.
-Что тебя привело ко мне?
-Владимир Давидович, я все понимаю, что Вы обьясняете, но функция F(X) ! Что это?
Мы с бабушкой еле-еле заставили Васю сложить все принесенное обратно в чемодан, я отставил в сторону тетради, и мы начали занятия. К своему ужасу, я обнаружил, что Вася не знает таблицы умножения. Дла меня это был шок. Теперь, с высоты своих лет и опыта я понимаю всю нищету моих тогдашних понятий. В дальнейшей своей жизни мне встретились и директор музыкальной школы, который всегда ходил с карандашом, на котором была таблица умножения, и жена моего друга, русского писателя Эдуарда П…… Наталия К........., - бывший преподаватель МАИ - профессор математики, которая сама мне сказала, что таблицу не знает до сих пор.
Но тогда, в далекой молодости, мне это казалось невероятным, отбивало охоту что-то обьяснять. Я сосредоточился на функции
F(x). Долго обьяснял, приводил примеры, что-то получилось. Вася встал удовлетворенный. Опять открыл чемодан, предложил выпить и закусить. Для меня выпивка - острый нож в сердце. Душа не приемлет, возможно, на генетическом уровне, хотя мой отец вернулся с фронта с большим пристрастием к водке.
Ах, водка! Сколько раз мне пришлось ее выливать незаметно, заменять, отдавать, когда участвовал в застольях, как гармонист, затем, баянист! Ведь на Руси всегда первый стакан – гармонисту!
Наконец, мы убедили Васю снова собрать все в чемоданчик. Он сказал, что идет в туалет и больше не вернулся. Чемоданчик остался на столе.
Я боялся, что его примеру последуют и другие курсанты, имеющие с математикой проблемы, но обошлось. Очевидно, сработал слух, что я не пью.
Вася «Школу» закончил. Я уже там в это время не работал, вернулась прежняя преподавательница, которая была в декрете. Скоро «Школу» закрыли. Дорога переходила на тепловозную тягу, значит снова Васе учиться. Мне, наконец, дали две небольшие комнаты в «коммуналке» и мои родители, жившие в городке Пограничный, возле Уссурийска, все бросили и приехали ко мне.
А Вася? Думаю, что стал достойным железнодорожником и без функции Y = F(X).
А эта функция, как маленький золотой ключик, открывает потайную дверь в ту область знаний, которая приучает человека мыслить отвлеченно, абстрактно и которая на всех великих языках называется почти одинаково – МАТЕМАТИКА.
P.S.
|Эти дети, у которых я был классным руководителем в 5,6,7,8 классах, были моими первыми учениками в моей учительской карьере, я их запомнил навсегда. Они – на 10 лет младше меня, сегодня им – по 68. Некоторые из них стали очень известными людьми в России и Израиле.

Рецензии

Здравствуйте, Владимир! С удовольствием и интересом прочитал Ваш рассказ. Должен сказать, что к старости пропадает желание читать выдуманные истории, даже если написано хорошим языком и, с художественной точки зрения, правдиво. Не знаю, хорошо это или плохо. ...А математику я люблю. Как и Вы. С уважением, Юрий.

Дата: 20.11.2014

Что такое производная?

Таблица производных.

Производная - одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.

Это знакомство позволит:

Понимать суть несложных заданий с производной;

Успешно решать эти самые несложные задания;

Подготовиться к более серьёзным урокам по производной.

Сначала - приятный сюрприз.)

Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!

Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов - чтобы понять задание, и всего несколько правил - чтобы его решить. И всё. Это радует.

Приступим к знакомству?)

Термины и обозначения.

В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.

Здесь же важно понять, что дифференцирование - это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.

Дифференцирование - действие над функцией.

Производная - результат этого действия.

Так же, как, например, сумма - результат сложения. Или частное - результат деления.

Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.

Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y" или f"(x) или S"(t) и так далее.

Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли...)

Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)" , (x 3 )" , (sinx)" и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.

Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего - научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной - это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.

Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:

1. Таблица производных (формулы дифференцирования).

3. Производная сложной функции.

Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.

Таблица производных.

В мире - бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе - линейная, квадратичная, гипербола и т.п.

Дифференцирование функций "с нуля", т.е. исходя из определения производной и теории пределов - штука достаточно трудоёмкая. А математики - тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)

Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева - элементарная функция, справа - её производная.

	Функция y	Производная функции y y"
1	C (постоянная величина)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - любое число)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	sin x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x (a = e )

Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции - одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)

Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице - вроде и нету...

Рассмотрим несколько примеров:

1. Найти производную функции y = x 3

Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:

(x 3) " = 3·x 3-1 = 3x 2

Вот и все дела.

Ответ: y" = 3x 2

2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.

Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию... Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню - это уже новая функция.

По табличке находим синус и соответствующую производную:

y" = (sin x)" = cosx

Подставляем ноль в производную:

y"(0) = cos 0 = 1

Это и будет ответ.

3. Продифференцировать функцию:

Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет.

Напомню, что продифференцировать функцию - это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает...

Но если увидеть, что наша функция - это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается!

Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:

Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это - табличная функция. Сразу получаем:

Ответ: y" = - sin x .

Пример для продвинутых выпускников и студентов:

4. Найти производную функции:

Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями... То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:

А икс в степени одна десятая - это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:

Вот и всё. Это будет ответ.

Надеюсь, что с первым китом дифференцирования - таблицей производных - всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования.