С помощью любого языка можно выразить одну и ту же информацию разными словами и оборотами. Не является исключением и математический язык. Но одно и то же выражение можно эквивалентным образом записать по-разному. И в некоторых ситуациях одна из записей является более простой. Об упрощении выражений мы и поговорим на этом уроке.

Люди общаются на разных языках. Для нас важным сравнением является пара «русский язык - математический язык». Одну и ту же информацию можно сообщить на разных языках. Но, кроме этого, её можно и на одном языке произнести по-разному.

Например: «Петя дружит с Васей», «Вася дружит с Петей», «Петя с Васей друзья». Сказано по-разному, но одно и то же. По любой из этих фраз мы бы поняли, о чём идёт речь.

Давайте посмотрим на такую фразу: «Мальчик Петя и мальчик Вася дружат». Мы поняли, о чем идет речь. Тем не менее, нам не нравится, как звучит эта фраза. Не можем ли мы её упростить, сказать то же, но проще? «Мальчик и мальчик» - можно же один раз сказать: «Мальчики Петя и Вася дружат».

«Мальчики»… Разве по именам не понятно, что они не девочки. Убираем «мальчики»: «Петя и Вася дружат». А слово «дружат» можно заменить на «друзья»: «Петя и Вася - друзья». В итоге первую, длинную некрасивую фразу заменили эквивалентным высказыванием, которое проще сказать и проще понять. Мы эту фразу упростили. Упростить- значит сказать проще, но не потерять, не исказить смысл.

В математическом языке происходит примерно то же самое. Одно и то же можно сказать, записать по-разному. Что значит упростить выражение? Это значит, что для исходного выражения существует множество эквивалентных выражений, то есть тех, что означают одно и то же. И из всего этого множества мы должны выбрать самое простое, на наш взгляд, или самое подходящее для наших дальнейших целей.

Например, рассмотрим числовое выражение . Ему эквивалентное будет .

Также будет эквивалентно первым двум: .

Получается, что мы упростили наши выражения и нашли самое краткое эквивалентное выражение.

Для числовых выражений всегда нужно выполнять все действия и получать эквивалентное выражение в виде одного числа.

Рассмотрим пример буквенного выражения . Очевидно, что более простое будет .

При упрощении буквенных выражений необходимо выполнить все действия, которые возможны.

Всегда ли нужно упрощать выражение? Нет, иногда нам удобнее будет эквивалентная, но более длинная запись.

Пример : от числа нужно отнять число .

Вычислить можно, но если бы первое число было представлено своей эквивалентной записью: , то вычисления были бы мгновенными: .

То есть упрощенное выражение не всегда нам выгодно для дальнейших вычислений.

Тем не менее очень часто мы сталкиваемся с заданием, которое так и звучит «упростить выражение».

Упростить выражение: .

Решение

1) Выполним действия в первых и во вторых скобках: .

2) Вычислим произведения: .

Очевидно, последнее выражение имеет более простой вид, чем начальное. Мы его упростили.

Для того чтобы упростить выражение, его необходимо заменить на эквивалентное (равное).

Для определения эквивалентного выражения необходимо:

1) выполнить все возможные действия,

2) пользоваться свойствами сложение, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений.

Свойства сложения и вычитания:

1. Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

2. Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

3. Свойство вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно вычитать каждое слагаемое по отдельности.

Свойства умножения и деления

1. Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется.

2. Сочетательное свойство: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

3. Распределительное свойство умножения: чтобы число умножить на сумму, нужно его умножить на каждое слагаемое по отдельности.

Посмотрим, как мы на самом деле делаем вычисления в уме.

Вычислите:

Решение

1) Представим как

2) Представим первый множитель как сумму разрядных слагаемых и выполним умножение:

3) можно представить как и выполнить умножение:

4) Заменим первый множитель эквивалентной суммой:

Распределительный закон можно использовать и в обратную сторону: .

Выполните действия:

1) 2)

Решение

1) Для удобства можно воспользоваться распределительным законом, только использовать его в обратную сторону - вынести общий множитель за скобки.

2) Вынесем за скобки общий множитель

Необходимо купить линолеум в кухню и прихожую. Площадь кухни - , прихожей - . Есть три вида линолеумов: по , и рублей за . Сколько будет стоить каждый из трёх видов линолеума? (Рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи

Решение

Способ 1. Можно по отдельности найти, сколько денег потребуется на покупку линолеума в кухню, а потом в прихожую и полученные произведения сложить.

Алгебраическое выражение в записи которого наряду с действиями сложения, вычитания и умножения используют также деление на буквенные выражения, называется дробным алгебраическим выражением. Таковы, например, выражения

Алгебраической дробью мы называем алгебраическое выражение, имеющее вид частного от деления двух целых алгебраических выражений (например, одночленов или многочленов). Таковы, например, выражения

Третье из выражений ).

Тождественные преобразования дробных алгебраических выражений имеют по большей части своей целью представить их в виде алгебраической дроби. Для отыскания общего знаменателя используется разложение на множители знаменателей дробей - слагаемых с целью отыскания их наименьшего общего кратного. При сокращении алгебраических дробей может нарушаться строгая тождественность выражений: необходимо исключать значения величин, при которых множитель, на который производится сокращение, обращается в нуль.

Приведем примеры тождественных преобразований дробных алгебраических выражений.

Пример 1. Упростить выражение

Все слагаемые можно привести к общему знаменателю (удобно при этом изменить знак в знаменателе последнего слагаемого и знак перед ним):

Наше выражение равно единице при всех значениях кроме этих значениях оно не определено и сокращение дроби незаконно).

Пример 2. Представить в виде алгебраической дроби выражение

Решение. За общий знаменатель можно принять выражение . Находим последовательно:

Упражнения

1. Найти значения алгебраических выражений при указанных значениях параметров:

2. Разложить на множители.

Раздел 5 ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ

В разделе узнаете:

ü о выражения и их упрощения;

ü какие свойства равенств;

ü как решать уравнения на основе свойств равенств;

ü какие виды задач решаются с помощью уравнений; что такое перпендикулярные прямые и как их строить;

ü какие прямые называются параллельными и как их строить;

ü что такое координатная плоскость;

ü как определить координаты точки на плоскости;

ü что такое график зависимости между величинами и как его построить;

ü как применить изученный материал на практике

§ 30. ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ УПРОЩЕНИЕ

Вы уже знаете, что такое буквенные выражения и умеете их упрощать с помощью законов сложения и умножения. Например, 2а ∙ (-4 b ) = -8 ab . В полученном выражении число -8 называют коэффициентом выражения.

Имеет ли выражение cd коэффициент? Так. Он равен 1, поскольку cd - 1 ∙ cd .

Вспомним, что преобразование выражения со скобками в выражение без скобок, называют раскрытием, скобок. Например: 5(2х + 4) = 10х+ 20.

Обратная действие в этом примере - это вынесение общего множителя за скобки.

Слагаемые, содержащие одинаковые буквенные множители, называют подобными слагаемыми. С помощью вынесения общего множителя за скобки возводят подобные слагаемые:

5х + y + 4 - 2х + 6 y - 9 =

= (5х - 2х) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B х+ 7у - 5.

Правила раскрытия скобок

1. Если перед скобками стоит знак«+», то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках сохраняют;

2. Если перед скобками стоит знак «-», то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.

Задача 1 . Упростите выражение:

1) 4х+(-7х + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

Решения. 1. Перед скобками стоит знак «+», поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняются:

4х +(-7х + 5) = 4х - 7х + 5=-3х + 5.

2. Перед скобками стоит знак«-», поэтому во время раскрытия скобок: знаки всех слагаемых меняются на противоположные:

15 - (- 8 + 7у) = 15у + 8 - 7у = 8у +8.

Для раскрытия скобок используют распределительную свойство умножения: а( b + c ) = ab + ас. Если а > 0, то знаки слагаемых b и с не изменяют. Если а < 0, то знаки слагаемых b и с меняют на противоположные.

Задача 2. Упростите выражение:

1) 2(6 y -8) + 7 y ;

2)-5(2-5х) + 12.

Решения. 1. Множитель 2 перед скобками е положительным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняем: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. Множитель -5 перед скобками е отрицательным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых меняем на противоположные:

5(2 - 5х) + 12 = -10 + 25х +12 = 2 + 25х.

Узнайте больше

1. Слово «сумма» происходит от латинского summa , что означает «итог», «общее количество».

2. Слово «плюс» происходит от латинского plus , что означает «больше», а слово «минус» - от латинского minus , что значит «меньше». Знаки «+» и«-» используют для обозначения действий сложения и вычитания. Эти знаки ввел чешский ученый Й. Видман в 1489 г. в книге «Быстрый и приятный счет для всех торговцев» (рис. 138).

Рис. 138

ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ

1. Какие слагаемые называют подобными? Как возводят подобные слагаемые?

2. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит знак «+»?

3. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит знак «-»?

4. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит положительный множитель?

5. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит отрицательный множитель?

1374". Назовите коэффициент выражения:

1)12 а; 3)-5,6 ху;

2)4 6; 4)-с.

1375". Назовите слагаемые, которые отличаются только коэффициентом:

1) 10а + 76-26 + а; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;

2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4)5х + 4у-х + у.

Как называются такие слагаемые?

1376". Есть ли подобными слагаемые в выражении:

1)11а+10а; 3)6 n + 15 n ; 5) 25р - 10р + 15р;

2) 14с-12; 4)12 m + m ; 6)8 k +10 k - n ?

1377". Надо ли менять знаки слагаемых в скобках, раскрывая скобки в выражении:

1)4 + (а+ 3 b ); 2)-c +(5-d ); 3) 16-(5 m -8 n )?

1378°. Упростите выражение и подчеркните коэффициент:

1379°. Упростите выражение и подчеркните коэффициент:

1380°. Сведите подобные слагаемые:

1) 4а - По + 6а - 2а; 4) 10 - 4 d - 12 + 4 d ;

2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b ; 5) 5а - 12 b - 7а + 5 b ;

3)-7 ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m .

1381°. Сведите подобные слагаемые:

1) 6а - 5а + 8а -7а; 3) 5с + 4-2с-3с;

2)9 b +12-8-46; 4)-7 n + 8 m - 13 n - 3 m .

1382°. Вынесите общий множитель за скобки:

1)1,2 а +1,2 b ; 3) -3 n - 1,8 m ; 5)-5 p + 2,5 k -0,5 t ;

2) 0,5 с + 5 d ; 4) 1,2 n - 1,8 m ; 6)-8р - 10 k - 6 t .

1383°. Вынесите общий множитель за скобки:

1) 6а-12 b ; 3)-1,8 n -3,6 m ;

2) -0,2 с + 1 4 d ; А) 3р - 0,9 k + 2,7 t .

1384°. Раскройте скобки и сведите подобные слагаемые;

1) 5 + (4а -4); 4) -(5 c - d ) + (4 d + 5с);

2) 17х-(4х-5); 5) (n - m )- (-2 m - 3 n );

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5х + у) - (-2у + 4х) + (х - 3у).

1385°. Раскройте скобки и сведите подобные слагаемые:

1) 10а + (4 - 4а); 3) (с - 5 d ) - (- d + 5с);

2) -(46- 10) + (4- 56); 4)-(5 n + m ) + (-4 n + 8 m )-(2 m -5 n ).

1386°. Раскройте скобки и найдите значение выражения:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Раскройте скобки и найдите значение выражения:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Раскройте скобки:

1)0,5 ∙ (а + 4); 4) (n - m ) ∙ (-2,4 p );

2)-с ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 р + к - 0,2 t );

3) 1,6 ∙ (2 n + m ); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t ) ∙ (-2а).

1389°. Раскройте скобки:

1) 2,2 ∙ (х-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m ); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t ).

1390. Упростите выражение:

1391. Упростите выражение:

1392. Сведите подобные слагаемые:

1393. Сведите подобные слагаемые:

1394. Упростите выражение:

1)2,8 - (0,5 а + 4) - 2,5 ∙ (2а - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, by ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n ) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m ) ∙ 2.

1395. Упростите выражение:

1396. Найдите значение выражения;

1) 4-(0,2 а-3)-(5,8 а-16), если а = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), если = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Найдите значение выражения:

1) -4∙ (я-2) + 2∙(6x - 1), если х =-0,25;

1398*. Найдите ошибку в решении:

1)5- (а-2,4)-7 ∙ (-а+ 1,2) = 5а - 12-7а + 8,4 = -2а-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 а - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 а) = -9,2 а + 46 + 4,26 - 14,7 а = -5,5 а + 8,26.

1399*. Раскройте скобки и упростите выражение:

1) 2аb - 3(6(4а - 1) - 6(6 - 10а)) + 76;

1400*. Расставьте скобки так, чтобы получить правильное равенство:

1)а-6-а + 6 = 2а; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .

1401*. Докажите, что для любых чисел а и b , если а > b , то выполняется равенство:

1) (а + b ) + (а- b ) = 2а; 2) (а + b ) - (a - b ) = 2 b .

Будет ли правильным данное равенство, если: а) а < b ; б) а = 6?

1402*. Докажите, что для любого натурального числа а среднее арифметическое предыдущего и следующего за ним чисел равна числу а.

ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ

1403. Для приготовления фруктового десерта для трех человек нужно: 2 яблока, 1 апельсин, 2 банана и 1 киви. Как составить буквенный выражение для определения количества фруктов, необходимых для приготовления десерта я для гостей? Помогите Марин эти подсчитать, сколько фруктов нужно купить, если к ней в гости придут: 1) 5 друзей; 2) 8 друзей.

1404. Составьте буквенный выражение для определения времени, необходимого для выполнения домашнего задания по математике, если:

1) на решения задач потрачено а мин; 2) упрощение выражений в 2 раза больше, чем на решение задач. Сколько времени выполнял домашнее задание Василько, если на решение задач он потратил 15 мин?

1405. Обед в школьной ‘столовой состоит из салата, борща, голубцов и компота. Стоимость салата составляет 20 %, борща - 30 %, голубцов - 45 %, компота - 5 % общей стоимости всего обеда. Составьте выражение для нахождения стоимости обеда в школьной столовой. Сколько стоит обед, если цена салата - 2 грн?

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ

1406. Решите уравнение:

1407. На мороженое Таня потратила всех имеющихся денег, а на конфеты - остальных. Сколько денег осталось у Тани,

если конфеты стоят 12 грн?

Начальный уровень

Преобразование выражений. Подробная теория (2019)

Преобразование выражений

Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:

«Да куда уж проще» - говорим мы, но такой ответ обычно не прокатывает.

Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач. Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа (да-да, к черту эти буквы).

Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители. Поэтому сперва, если ты этого не сделал раньше, обязательно освой темы « » и « ».

Прочитал? Если да, то теперь ты готов.

Базовые операции упрощения

Сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.

Самый простой из них - это

1. Приведение подобных

Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел. Подобные - это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью. Например, в сумме подобные слагаемые - это и.

Вспомнил?

Привести подобные - значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.

А как же нам сложить друг с другом буквы? - спросишь ты.

Это очень легко понять, если представить, что буквы - это какие-то предметы. Например, буква - это стул. Тогда чему равно выражение? Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно, стульев: .

А теперь попробуй такое выражение: .

Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы. Например, - это (как обычно) стул, а - это стол. Тогда:

стула стола стул столов стульев стульев столов

Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами . Например, в одночлене коэффициент равен. А в он равен.

Итак, правило приведения подобных:

Примеры:

Приведите подобные:

Ответы:

2. (и подобны, так как, следовательно у этих слагаемых одинаковая буквенная часть).

2. Разложение на множители

Это обычно самая важная часть в упрощении выражений. После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители, то есть представить в виде произведения. Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.

Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме « », поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное. Для этого реши несколько примеров (нужно разложить на множители):

Решения:

3. Сокращение дроби.

Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя, и выбросить их из своей жизни?

В этом вся прелесть сокращения.

Все просто:

Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.

Это правило вытекает из основного свойства дроби:

То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим на одно и то же число (или на одно и то же выражение).

Чтобы сократить дробь, нужно:

1) числитель и знаменатель разложить на множители

2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.

Принцип, я думаю, понятен?

Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении. Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить - это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.

Например: надо упростить.

Некоторые делают так: , что абсолютно неверно.

Еще пример: сократить.

«Самые умные» сделают так: .

Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы: - это множитель, значит можно сокращать.

Но нет: - это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.

Вот другой пример: .

Это выражение разложено на множители, значит, можно сократить, то есть поделить числитель и знаменатель на, а потом и на:

Можно и сразу поделить на:

Чтобы не допускать подобных ошибок, запомни легкий способ, как определить, разложено ли выражение на множители:

Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным». То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение - значит, у нас произведение (выражение разложено на множители). Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).

Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров :

Ответы:

1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать и? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:

Первым действием должно быть разложение на множители:

4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.

Сложение и вычитание обычных дробей - операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители. Давай вспомним:

Ответы:

1. Знаменатели и - взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:

2. Здесь общий знаменатель равен:

3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше - по привычной схеме:

Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:

Начнем с простого:

a) Знаменатели не содержат букв

Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:

теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:

Попробуй сам:

b) Знаменатели содержат буквы

Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:

· в первую очередь мы определяем общие множители;

· затем выписываем все общие множители по одному разу;

· и домножаем их на все остальные множители, не общие.

Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:

Подчеркнем общие множители:

Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:

Это и есть общий знаменатель.

Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:

· раскладываем знаменатели на множители;

· определяем общие (одинаковые) множители;

· выписываем все общие множители по одному разу;

· домножаем их на все остальные множители, не общие.

Итак, по порядку:

1) раскладываем знаменатели на множители:

2) определяем общие (одинаковые) множители:

3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:

Значит, общий знаменатель здесь. Первую дробь нужно домножить на, вторую - на:

Кстати, есть одна хитрость:

Например: .

Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:

в степени

в степени

в степени

в степени.

Усложним задание:

Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?

Давай вспомним основное свойство дроби:

Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!

Убедись сам: возьми любую дробь, например, и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, . Что поучилось?

Итак, очередное незыблемое правило:

Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!

Но на что же надо домножить, чтобы получить?

Вот на и домножай. А домножай на:

Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями». Например, - это элементарный множитель. - тоже. А вот - нет: он раскладывается на множители.

Что скажешь насчет выражения? Оно элементарное?

Нет, поскольку его можно разложить на множители:

(о разложении на множители ты уже читал в теме « »).

Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами - это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.

Видим, что в обоих знаменателях есть множитель. Он пойдет в общий знаменатель в степени (помнишь, почему?).

Множитель - элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:

Еще пример:

Решение:

Предже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют :

Отлично! Тогда:

Еще пример:

Решение:

Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки; во втором - разность квадратов:

Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то и так похожи… И правда:

Так и напишем:

То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.

Теперь приводим к общему знаменателю:

Усвоил? Сейчас проверим.

Задачи для самостоятельного решения:

Ответы:

Тут надо вспомнить еще одну - разность кубов:

Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: .

А - это так называемый неполный квадрат суммы: второе слагаемое в нем - это произведение первого и последнего, а не удвоенное их произведение. Неполный квадрат суммы - это один из множителей в разложени разности кубов:

Что делать, если дробей аж три штуки?

Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:

Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.

В общий знаменатель выписавыем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:

Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?

Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь - это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл). И нет ничего проще, чем разделить число на. При этом само число не изменится, но превратится в дробь:

То, что нужно!

5. Умножение и деление дробей.

Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:

Порядок действий

Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:

Посчитал?

Должно получиться.

Итак, напоминаю.

Первым делом вычисляется степень.

Вторым - умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.

И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.

Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!

Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.

А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.

Итак, порядок действий для выражения выше такой (красным выделено текущее дествие, то есть действие, которое выполняю прямо сейчас):

Хорошо, это все просто.

Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?

Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных , сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять я или просто выносить общий множитель за скобки.

Обычно наша цель - представить выражение в виде произведения или частного.

Например:

Упростим выражение.

1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель - представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь - элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).

2) Получаем:

Умножение дробей: что может быть проще.

3) Теперь можно и сократить:

Ну вот и все. Ничего сложного, правда?

Еще пример:

Упрости выражение.

Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.

Перво-наперво определим порядок действий. Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна. Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью. Схематически пронумерую действия:

Теперь покажу весть процесс, подкрашивая текущее действие красным:

Напоследок дам тебе два полезных совета:

1. Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.

2. То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.

Вот тебе задачи для самостоятельного решения:

И обещанная в самом начале:

Решения (краткие):

Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.

Теперь вперед к обучению!

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Базовые операции упрощения:

• Приведение подобных : чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
• Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение и т.д.
• Сокращение дроби : числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
  1) числитель и знаменатель разложить на множители
  2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.

  ВАЖНО: сокращать можно только множители!

• Сложение и вычитание дробей:
  ;
• Умножение и деление дробей:
  ;

Зачастую в задачах требуется привести упрощенный ответ. Хотя и упрощенный, и неупрощенный ответы являются верными, преподаватель может снизить вашу оценку, если вы не упростите ответ. Более того, с упрощенным математическим выражением гораздо легче работать. Поэтому очень важно научиться упрощать выражения.

Шаги

Правильный порядок выполнения математических операций

1. Запомните правильный порядок выполнения математических операций. При упрощении математического выражения необходимо соблюдать определенный порядок действий, так как некоторые математические операции имеют приоритет над другими и должны быть сделаны в первую очередь (на самом деле несоблюдение правильного порядка выполнения операций приведет вас к неправильному результату). Запомните следующий порядок выполнения математических операций: выражение в скобках, возведение в степень, умножение, деление, сложение, вычитание.

   • Обратите внимание, что знание правильного порядка выполнения операций позволит вам упростить большинство простейших выражений, но для упрощения многочлена (выражения с переменной) необходимо знать специальные приемы (смотрите следующий раздел).

2. Начните с решения выражения в скобках. В математике скобки указывают на то, что заключенное в них выражение должно быть выполнено в первую очередь. Поэтому при упрощении любого математического выражения начинайте с решения выражения, заключенного в скобки (при этом неважно, какие операции нужно выполнить внутри скобок). Но помните, что работая с выражением, заключенным в скобки, следует соблюдать порядок проведения операций, то есть члены в скобках сначала перемножаются, делятся, складываются, вычитаются и так далее.

   • Например, упростим выражение 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2) . Здесь начнем с выражений в скобках: 5 + 2 = 7 и 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • Выражение во второй паре скобок упрощается до 5, потому что сначала нужно разделить 4/2 (согласно правильному порядку выполнения операций). Если не соблюдать этот порядок, то вы получите неправильный ответ: 3 + 4 = 7 и 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Если в скобках есть еще одна пара скобок, начните упрощение с решения выражения во внутренних скобках, а затем переходите к решению выражения во внешних скобках.

3. Возведите в степень. Решив выражения в скобках, перейдите к возведению в степень (помните, что у степени есть показатель степени и основание степени). Возведите соответствующее выражение (или число) в степень и подставьте результат в данное вам выражение.

   • В нашем примере единственным выражением (числом) в степени является 3 2: 3 2 = 9. В данном вам выражении вместо 3 2 подставьте 9 и вы получите: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Умножьте. Помните, что операция умножения может обозначаться следующими символами: «х», «∙» или «*». Но если между числом и переменной (например, 2х) или между числом и числом в скобках (например, 4(7)) нет никаких символов, то это также является операцией умножения.

   • В нашем примере присутствуют две операции умножения: 2x (два умножить на переменную «х») и 4(7) (четыре умножить на семь). Мы не знаем значения х, поэтому выражение 2х оставим как есть. 4(7) = 4 х 7 = 28. Теперь вы можете переписать данное вам выражение так: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Разделите. Помните, что операция деления может обозначаться следующими символами: «/», «÷» или «–» (последний символ вы можете встретить в дробях). Например 3/4 – это три, деленное на четыре.

   • В нашем примере операции деления больше нет, так как вы уже разделили 4 на 2 (4/2) при решении выражения в скобках. Поэтому вы можете перейти к следующему шагу. Помните, что в большинстве выражений нет сразу всех математических операций (только некоторые из них).

6. Сложите. При сложении членов выражения вы можете начать с самого крайнего (слева) члена, или можете сначала сложить те члены выражения, которые легко складываются. Например, в выражении 49 + 29 + 51 +71 сначала легче сложить 49 + 51 = 100, потом 29 + 71 = 100 и, наконец, 100 + 100 = 200. Гораздо сложнее складывать так: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • В нашем примере 2x + 28 + 9 + 5 присутствуют две операции сложения. Начнем с самого крайнего (слева) члена: 2x + 28; вы не можете сложить 2х и 28, потому что не знаете значения переменной «х». Поэтому сложите 28 + 9 = 37. Теперь выражение можно переписать так: 2х + 37 - 5.

7. Вычтите. Это последняя операция в правильном порядке выполнения математических операций. На этом этапе вы также можете прибавлять отрицательные числа или же делать это на этапе сложения членов – это никак не отразится на конечном результате.

   • В нашем примере 2х + 37 - 5 присутствует только одна операция вычитания: 37 - 5 = 32.

8. На этом этапе, проделав все математические операции, вы должны получить упрощенное выражение. Но если данное вам выражение содержит одну или несколько переменных, то помните, что член с переменной останется таким, как есть. Решение (а не упрощение) выражения с переменной подразумевает нахождение значения этой переменной. Иногда выражения с переменной можно упростить, используя специальные методы (смотрите следующий раздел).

   • В нашем примере окончательный ответ: 2х + 32. Вы не сможете сложить два члена, пока не узнаете значение переменной «х». Узнав значение переменной, вы с легкостью упростите этот двучлен.

   Упрощение сложных выражений

   1. Сложение подобных членов. Помните, что вычитать и складывать можно исключительно подобные члены, то есть члены с одинаковой переменной и одинаковым показателем степени. Например, можно сложить 7x и 5x, но нельзя складывать 7x и 5x 2 (так как здесь показатели степени разные).

      • Это правило распространяется и на члены с несколькими переменными. Например, можно сложить 2xy 2 и -3xy 2 , но нельзя складывать 2xy 2 и -3x 2 y или 2xy 2 и -3y 2 .
      • Рассмотрим пример: x 2 + 3x + 6 - 8x. Здесь подобными членами являются 3x и 8x, поэтому их можно сложить. Упрощенное выражение выглядит так: x 2 - 5x + 6.

   2. Упростите числовую дробь. В такой дроби и в числителе, и в знаменателе находятся числа (без переменной). Числовая дробь упрощается несколькими способами. Во-первых, просто разделите знаменатель на числитель. Во-вторых, разложите числитель и знаменатель на множители и сократите одинаковые множители (так как при делении числа на само себя вы получите 1). Другими словами, если и у числителя, и у знаменателя есть один и тот же множитель, его можно отбросить и получить упрощенную дробь.

      • Например, рассмотрим дробь 36/60. При помощи калькулятора разделите 36 на 60 и получите 0,6. Но вы можете упростить эту дробь и по-другому, разложив числитель и знаменатель на множители: 36/60 = (6х6)/(6х10) = (6/6)*(6/10). Так как 6/6 = 1, то упрощенная дробь: 1 х 6/10 = 6/10. Но эту дробь также можно упростить: 6/10 = (2х3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Если дробь содержит переменную, можно сократить одинаковые множители с переменной. Разложите и числитель, и знаменатель на множители и сократите одинаковые множители, даже если они содержат переменную (помните, что здесь одинаковые множители могут содержать или не содержать переменную).

      • Рассмотрим пример: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Это выражение можно переписать (разложить на множители) в виде: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Так как член 3x находится и в числителе, и в знаменателе, его можно сократить, и вы получите упрощенное выражение: (х + 1)/(5 - х). Рассмотрим другой пример: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Обратите внимание, что вы не можете сокращать любые члены – сокращаются только одинаковые множители, которые присутствуют как в числителе, так и в знаменателе. Например, в выражении (х(х + 2))/х переменная (множитель) «х» находится и в числителе, и в знаменателе, поэтому «х» можно сократить и получить упрощенное выражение: (х + 2)/1 = х + 2. Тем не менее, в выражении (х + 2)/х переменную «х» сокращать нельзя (так как в числителе «х» не является множителем).

   4. Раскройте скобки. Для этого умножьте член, стоящий за скобкой, на каждый член в скобках. Иногда это помогает упростить сложное выражение. Это относится как к членам, которые являются простыми числами, так и к членам, которые содержат переменную.

      • Например, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, а 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Обратите внимание, что в дробных выражениях скобки раскрывать не нужно, если и в числителе, и в знаменателе присутствует одинаковый множитель. Например, в выражении (3(x 2 + 8))/3x скобки раскрывать не нужно, так как здесь можно сократить множитель 3 и получить упрощенное выражение (x 2 + 8)/x. С этим выражением легче работать; если бы вы раскрыли скобки, то получили бы следующее сложное выражение: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Разложите на множители многочлены. При помощи этого метода можно упростить некоторые выражения и многочлены. Разложение на множители – это операция, противоположная раскрытию скобок, то есть выражение записывается в виде произведения двух выражений, каждое из которых заключено в скобки. В некоторых случаях разложение на множители позволяет сократить одинаковое выражение. В особых случаях (как правило, с квадратными уравнениями) разложение на множители позволит вам решить уравнение.

      • Рассмотрим выражение x 2 - 5x + 6. Оно раскладывается на множители: (x - 3)(x - 2). Таким образом, если, например, дано выражение (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), то вы можете переписать его в виде (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), сократить выражение (х - 2) и получить упрощенное выражение (х - 3)/2.
      • Разложение многочленов на множители применяется для решения (нахождения корней) уравнений (уравнение – это многочлен, приравненный к 0). Например, рассмотрим уравнение x 2 - 5x + 6 = 0. Разложив его на множители, вы получите (х - 3)(х - 2) = 0. Так как любое выражение, умноженное на 0, равно 0, то мы можем записать так: х - 3 = 0 и х - 2 = 0. Таким образом, х = 3 и х = 2, то есть вы нашли два корня данного вам уравнения.