В данной статье на примере решения задачи C2 из ЕГЭ разобран способ нахождения с помощью метода координат. Напомним, что прямые являются скрещивающи-мися, если они не лежат в одной плоскости. В частности, если одна прямая лежит в плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, которая не лежит на первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися (см. рисунок).

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо:

1. Провести через одну из скрещивающихся прямых плоскость, которая параллельна другой скрещивающейся прямой.
2. Опустить перпендикуляр из любой точки второй прямой на полученную плоскость. Длина этого перпендикуляра будет являться искомым расстоянием между прямыми.

Разберем данный алгоритм подробнее на примере решения задачи C2 из ЕГЭ по математике.

Расстояние между прямыми в пространстве

Задача. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние между прямыми BA 1 и DB 1 .

Рис. 1. Чертеж к задаче

Решение. Через середину диагонали куба DB 1 (точку O ) проведем прямую, параллельную прямой A 1 B . Точки пересечения данной прямой с ребрами BC и A 1 D 1 обозначаем соответственно N и M . Прямая MN лежит в плоскости MNB 1 и параллельна прямой A 1 B , которая в этой плоскости не лежит. Это означает, что прямая A 1 B параллельна плоскости MNB 1 по признаку параллельности прямой и плоскости (рис. 2).

Рис. 2. Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки выделенной прямой до изображенной плоскости

Ищем теперь расстояние от какой-нибудь точки прямой A 1 B до плоскости MNB 1 . Это расстояние по определению будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную декартову систему координат таким образом, чтобы ее начало совпало с точкой B, ось X была направлена вдоль ребра BA , ось Y — вдоль ребра BC , ось Z — вдоль ребра BB 1 (рис. 3).

Рис. 3. Прямоугольную декартову систему координат выберем так, как показано на рисунке

Находим уравнение плоскости MNB 1 в данной системе координат. Для этого определяем сперва координаты точек M , N и B 1: Полученные координаты подставляем в общее уравнение прямой и получаем следующую систему уравнений:

Из второго уравнения системы получаем из третьего получаем после чего из первого получаем Подставляем полученные значения в общее уравнение прямой:

Замечаем, что иначе плоскость MNB 1 проходила бы через начало координат. Делим обе части этого уравнения на и получаем:

Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле.

Наряду с точкой и плоскостью. Это бесконечная фигура, которой можно соединить любые две точки в пространстве. Прямая всегда принадлежит какой-либо плоскости. Исходя из расположения двух прямых, следует применять разные методы поиска расстояния между ними.

Существует три варианта расположения двух прямых в пространстве друг относительно друга: они параллельны, пересекаются или . Второй вариант возможен, только если они в одной плоскости, не исключает принадлежности двум параллельным плоскостям. Третья ситуация говорит о том, что прямые лежат в разных параллельных плоскостях.

Чтобы найти расстояние между двумя параллельными прямыми, нужно определить длину перпендикулярного отрезка, соединяющего их в любых двух точках. Поскольку прямые имеют две одинаковые координаты, что следует из определения их параллельности, то уравнения прямых в двухмерном координатном пространстве можно записать так:
L1: а х + b у + с = 0;
L2: а х + b у + d = 0.
Тогда можно найти длину отрезка по формуле:
s = |с - d|/√(a² + b²), причем нетрудно заметить, что при С = D, т.е. совпадении прямых, расстояние будет равно нулю.

Понятно, что расстояние между пересекающимися прямыми в двухмерной координат не имеет смысла. Зато когда они расположены в разных плоскостях, его можно найти как длину отрезка, лежащего в плоскости, перпендикулярной им обеим. Концами этого отрезка будут точки, являющиеся проекциями любых двух точек прямых на эту плоскость. Иными , его длина равна расстоянию между параллельными плоскостями, содержащими эти прямые. Таким образом, если плоскости заданы общими уравнениями:
α: А1 х + В1 у + С1 z + Е = 0,
β: А2 х + В2 у + С2 z + F = 0,
расстояние между прямыми можно по формуле:
s = |Е – F|/√(|А1 А2| + В1 В2 + С1 С2).

Обратите внимание

Прямые вообще и скрещивающиеся в частности интересны не только математикам. Их свойства полезны во многих других областях: в строительстве и архитектуре, в медицине и в самой природе.

Совет 2: Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми

Определение расстояния между двумя объектами, находящимися в одной или нескольких плоскостях, является одной из самых распространенных задач в геометрии. Руководствуясь общепринятыми методами, вы можете найти расстояние между двумя параллельными прямыми.

Инструкция

Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости, которые либо не пересекаются, либо совпадают. Для нахождения расстояния между параллельными прямыми следует выбрать произвольную точку на одной из них, после чего опустить перпендикуляр ко второй прямой. Теперь остается лишь измерить длину получившегося отрезка. Длина соединяющего две параллельные прямые перпендикуляра и будет являться расстоянием между ними.

Обратите внимание на порядок проведения перпендикуляра от одной параллельной прямой к другой, поскольку от этого зависит точность рассчитанного расстояния. Для этого воспользуйтесь чертежным инструментом «треугольником» с прямым углом. Выберите точку на одной из прямых, приложите к ней одну из сторон треугольника, примыкающих к прямому углу (катет), а вторую сторону совместите с другой прямой. Остро заточенным карандашом проведите вдоль первого катета линию так, чтобы она достигла противоположной прямой.

В этой статье внимание нацелено на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Сначала дано определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Далее получен алгоритм, позволяющий найти расстояние между скрещивающимися прямыми. В заключении детально разобрано решение примера.

Навигация по странице.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение.

Прежде чем дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми, напомним определение скрещивающихся прямых и докажем теорему, связанную со скрещивающимися прямыми.

Определение.

– это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

В свою очередь расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью есть расстояние от некоторой точки прямой до плоскости. Тогда справедлива следующая формулировка определения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Определение.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

Рассмотрим скрещивающиеся прямые a и b . Отметим на прямой a некоторую точку М 1 , через прямую b проведем плоскость , параллельную прямой a , и из точки М 1 опустим перпендикуляр М 1 H 1 на плоскость . Длина перпендикуляра M 1 H 1 есть расстояние между скрещивающимися прямыми a и b .

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми – теория, примеры, решения.

При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми основная сложность часто заключается в том, чтобы увидеть или построить отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Если такой отрезок построен, то в зависимости от условий задачи его длина может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, признаков равенства или подобия треугольников и т.п. Так мы и поступаем при нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми на уроках геометрии в 10-11 классах.

Если же в трехмерном пространстве введена Oxyz и в ней заданы скрещивающиеся прямые a и b , то справиться с задачей вычисления расстояния между заданными скрещивающимися прямыми позволяет метод координат. Давайте его подробно разберем.

Пусть - плоскость, проходящая через прямую b , параллельно прямой a . Тогда искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по определению равно расстоянию от некоторой точки М 1 , лежащей на прямой a , до плоскости . Таким образом, если мы определим координаты некоторой точки М 1 , лежащей на прямой a , и получим нормальное уравнение плоскости в виде , то мы сможем вычислить расстояние от точки до плоскости по формуле (эта формула была получена в статье нахождение расстояния от точки до плоскости). А это расстояние равно искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Теперь подробно.

Задача сводится к получению координат точки М 1 , лежащей на прямой a , и к нахождению нормального уравнения плоскости .

С определением координат точки М 1 сложностей не возникает, если хорошо знать основные виды уравнений прямой в пространстве . А вот на получении уравнения плоскости стоит остановиться подробнее.

Если мы определим координаты некоторой точки М 2 , через которую проходит плоскость , а также получим нормальный вектор плоскости в виде , то мы сможем написать общее уравнение плоскости как .

В качестве точки М 2 можно взять любую точку, лежащую на прямой b , так как плоскость проходит через прямую b . Таким образом, координаты точки М 2 можно считать найденными.

Осталось получить координаты нормального вектора плоскости . Сделаем это.

Плоскость проходит через прямую b и параллельна прямой a . Следовательно, нормальный вектор плоскости перпендикулярен и направляющему вектору прямой a (обозначим его ), и направляющему вектору прямой b (обозначим его ). Тогда в качестве вектора можно взять и , то есть, . Определив координаты и направляющих векторов прямых a и b и вычислив , мы найдем координаты нормального вектора плоскости .

Итак, мы имеем общее уравнение плоскости : .

Остается только привести общее уравнение плоскости к нормальному виду и вычислить искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по формуле .

Таким образом, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b нужно:

Разберем решение примера.

Пример.

В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b . Прямую a определяют

Доказательство.

Возьмем точку , которая лежит на прямой a , тогда координаты точки М1 удовлетворяют уравнению , то есть, справедливо равенство , откуда имеем .

Если font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> b имеет вид font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">, а если , то нормальное уравнение прямой b имеет вид font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

Тогда при font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">расстояние от точки до прямой b вычисляется по формуле , а при - по формуле

То есть, при любом значении С2 расстояние от точки до прямой b можно вычислить по формуле . А если учесть равенство , которое было получено выше, то последняя формула примет вид font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Теорема доказана.

2. Решение задач на нахождение расстояния между параллельными прямыми

Пример №1.

Найдите расстояние между параллельными прямыми и Решение.

Получим общие уравнения заданных параллельных прямых.

Для прямой font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">соответствует общее уравнение прямой . Перейдем от параметрических уравнений прямой вида font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">к общему уравнению этой прямой:

font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Коэффициенты при переменных x и y в полученных общих уравнениях параллельных прямых равны, поэтому мы сразу можем применить формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми на плоскости: .

Ответ: font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Пример №2.

На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и даны уравнения двух параллельных прямых и . Найдите расстояние между указанными параллельными прямыми.

Решение:

Первый способ решения.

Канонические уравнения прямой на плоскости вида font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">позволяют сразу записать координаты точки М1 , лежащей на этой прямой: font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">. Расстояние от этой точки до прямой равно искомому расстоянию между параллельными прямыми. Уравнение является нормальным уравнением прямой, следовательно, мы можем сразу вычислить расстояние от точки до прямой font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">: .

Второй способ решения.

Общее уравнение одной из заданных параллельных прямых нам уже дано font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Приведем каноническое уравнение прямой к общему уравнению прямой: . Коэффициенты при переменной x в общих уравнениях заданных параллельных прямых равны (при переменной y коэффициенты тоже равны - они равны нулю), поэтому можно применять формулу, позволяющую вычислить расстояние между заданными параллельными прямыми: .

Ответ: 8

3. Домашнее задание

Задачи для самопроверки

1. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми

4.ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Все поставленные цели и задачи выполнены полностью. Разработаны два урока из раздела «Взаимное расположение объектов на плоскости» по теме «Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми» с помощью метода координат. Материал подобран на доступном для учащихся уровне, что позволит решать задачи по геометрии более простыми и красивыми методами.

5.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1) , Юдина. 7 – 9 классы : учебник для общеобразовательных учреждений.

2) , Позняк. Учебник для 10-11 классов средней школы .

3) , Никольский математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

4) , Позняк геометрия.

6.ПРИЛОЖЕНИЯ

Справочный материал

Общее уравнение прямой:

Ах + Ву + С = 0 ,

где А и В не равны нулю одновременно.

Коэффициенты А и В являются координатами нормального вектора прямой (т. е. вектора, перпендикулярного прямой). При А = 0 прямая параллельна оси ОХ , при В = 0 прямая параллельна оси О Y .

При В 0 получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом :

Уравнение прямой, проходящей через точку (х 0 , у 0) и не параллельной оси OY , имеет вид:

у – у 0 = m (x – х 0) ,

где m – угловой коэффициент , равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ .

При А font-size:12.0pt;font-family:Verdana;color:black">

где a = – C / A , b = – C / B . Эта прямая проходит через точки (a , 0) и (0, b ), т. е. отсекает на осях координат отрезки длиной a и b .

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х 1, у 1) и (х 2, у 2):

Параметрическое уравнение прямой , проходящей через точку (х 0 , у 0) и параллельной направляющему вектору прямой (a , b ) :

Условие параллельности прямых:

1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и D х+ E у+ F = 0: AE – BD = 0 ,

2) для прямых у = m x + k и у = p x + q : m = p .

Расстояние

от точки до прямой

Расстояние между параллельными прямыми

Геометрия, 7 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Длина перпендикуляра , проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

АН ⏊ а

М є а, М отлична от Н

Перпендикуляр , проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной , прове-денной из той же точки к этой прямой.

АМ – наклонная, проведенная из точки А к прямой а

АН АМ

АN - наклонная

АН АN

АН АK

АK - наклонная

Расстояние от точки до прямой

M

Расстояние от точки М до прямой с равно …

N

Расстояние от точки N до прямой с равно …

с

Расстояние от точки K до прямой с равно …

K

Расстояние от точки F до прямой с равно …

F

Расстояние от точки до прямой

АН ⏊ а

АН = 5,2 см

ВК ⏊ а

ВК = 2,8 см

Теорема.

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой

Дано: a ǁ b

А є а, В є а,

Доказать: расстояния от точек А и В до прямой а равны.

АН ⏊ b, BK ⏊ b,

Доказать: АH = BK

Δ АНК = ΔВКА (почему?)

Из равенства треугольников следует АН = ВК

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

Обратная теорема.

Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

АН ⏊ b, BK ⏊ b,

АH = BK

Доказать: АВ ǁ b

Δ АНК = ΔКВА (почему?)

Из равенства треугольников следует … , но это внутренние накрест лежащие углы, образованные … , значит АВ ǁ НК

Чему равно расстояние между прямыми b и с, если расстояние между прямыми а и b равно 4, а между прямыми а и с равно 5 ?

а ǁ b ǁ c

Чему равно расстояние между прямыми b и а, если расстояние между прямыми b и с равно 7, а между прямыми а и с равно 2 ?

Чему равно расстояние между прямыми а и с, если расстояние между прямыми b и с равно 10, а между прямыми b и a равно 6 ?

Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых?

а ǁ b

Ответ: Прямая, параллельная данным прямым и находящаяся на равных расстояниях от них.

Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?

Ответ: Две прямые, параллельные данной прямой и расположенные на данном расстоянии по разные стороны от неё.