Современные технологии создают удивительные компьютерные программы. Они позволяют увидеть тела в объеме и покрутить их в разных направлениях, чтобы получше рассмотреть. Воображение человека не всегда на это способно. Немногие могут отчетливо представить предмет и увидеть его как бы насквозь. Но такое умение можно попытаться сформировать при решении задач по геометрии. Например, тех из них, в которых говорится о том, как найти объем куба. Это отличная практика для развития пространственного воображения.
Куб или параллелепипед?
Это непустой вопрос. Потому что классификация важна. Ведь куб — это особая форма прямоугольного параллелепипеда.
Последний представляет собой фигуру, в которой 6 граней, и все они прямоугольники. Углы, под которыми пересекаются все ребра, 90º. Соответственно, если эти грани станут квадратами, то и вся фигура преобразится в куб.
У прямоугольного параллелепипеда все линейные размеры, то есть высота, длина и ширина, могут существенно отличаться. В кубе же они всегда равны друг другу. Это его отличительный признак. Поэтому в задачах, которые требуют найти объем куба, рассмотренный момент непременно учитывается. Кстати, он существенно упрощает все математические записи и вычисления.
Условные обозначения в формулах и задачах
Без этого пункта будет сложно понять, как записаны формулы. Что подразумевается под каждой буквой и символом, подскажет следующая таблица.
Как найти элементы куба по его стороне?
Поскольку грань фигуры — это квадрат, то ее площадь определится по формуле №1, в которой известную величину нужно возвести в квадрат:
А диагональ любой грани вычисляется по формуле №2, в которой сторона умножается на корень из 2:
Предыдущая формула получается из теоремы Пифагора. Это легко понять, если увидеть, что диагональ грани — это гипотенуза прямоугольного треугольника. А катетами его становятся стороны квадрата.
Чтобы определить нужна будет следующая формула №3, содержащая известную сторону и квадратный корень из 3:
Она тоже получается из теоремы Пифагора. Только в качестве гипотенузы выступает искомая диагональ. Катетами же становятся сторона квадрата и его диагональ.
Иногда требуется знать формулу для вычисления площади боковой поверхности этой фигуры. В ней квадрат стороны умножается на 4. Вот она (№4):
Понять, как получается эта формула, несложно. Боковых граней — 4. А это значит, что их общая площадь - учетверенное значение площади одного квадрата.
Если нужно определить площадь всей поверхности , то используют эту запись, в которой ушестеряется квадрат ребра (формула №5):
Она получается аналогично предыдущей формуле, только число квадратов увеличилось до 6.
Что такое объем?
Если говорить просто, то это место, которое занимает любое тело в пространстве. Любой предмет ограничен в пространстве поверхностями. Их может быть несколько, но возможны случаи, когда только одна. Например, если тело — это шар. Но эти поверхности обязательно замкнуты. Пространство, которое занимает геометрическое тело, и будет его вместимостью, или объемом.
Единицы измерения объема
Когда речь идет о твердых телах, то единицами объема всегда будут кубические величины. К примеру, метр, сантиметр или километр в кубе. Для жидкостей приняты литры, которые выражаются через кубические дециметры. Но если они занимают очень большие объемы, то их измеряют также в кубических метрах. Например, при учете расхода воды в квартире ее считают в м 3 . Так получается удобнее и проще в числовом выражении.
Способ 1: узнать объем куба, если известна сторона
Это самый простой из методов, который подскажет, как найти объем куба. Он заключается в том, чтобы просто возвести значение стороны в третью степень. Другими словами, нужно умножить сторону на себя три раза. По аналогии с произвольным прямоугольным параллелепипедом, когда нужно было умножать все его линейные размеры. Формула будет записана так (№6):
Способ 2: известна площадь всей поверхности
В этом случае нужно будет разделить известную величину на 6. Из промежуточного ответа извлечь квадратный корень и возвести число в куб. Если записать это формулой, то получится следующее (№7):
Способ 3: дана диагональ грани куба
Для того чтобы узнать, как вычислить объем куба, в этом случае нужно выполнить следующие действия. Сначала возвести известное значение в куб, а потом умножить его на квадратный корень из 2 и разделить на 4. Формула для этой задачи (№8):
Это уравнение получается таким образом: известную диагональ нужно разделить на корень из двух. Потом число возвести в третью степень. После выполнения преобразований получается в числителе куб диагонали, а в знаменателе 2√2. Математика требует, чтобы под чертой не было иррационального числа. Поэтому от него избавляются путем умножения на √2. Тогда в числителе появляется √2, а в знаменателе получается 4.
Способ 4: по диагонали куба
Формула, которая подскажет, как найти объем куба, будет содержать действия: возведение в квадрат диагонали, умножение ее на корень из 3 и деление всего на 9. Она будет записана так (№9):
Аналогично предыдущей формуле, в этой записи сначала диагональ делится на корень из трех и возводится в куб. После преобразований в знаменателе также появляется иррациональность, от которой нужно уходить. Так, в числителе возникает величина √3, а под чертой — 9.
Примеры заданий
Задача первая. Дан куб с ребром 12 см. Вычислить его объем и выразить ответ в квадратных метрах.
В этом задании будет сложнее перевести ответ в другие единицы, чем решить, как найти объем куба. Для выполнения первой части задания потребуется формула, записанная под номером 6. После возведения в куб числа 12 получится ответ 1728 см 3 . Теперь нужно вспомнить, как перевести их в кубические метры. Для этой цели ответ нужно разделить на 100 три раза. Сотня появилась из того факта, что в одном метре именно сто сантиметров. А деление выполняется трижды, потому что единицы в задании кубические. Итак, 1728 разделенное на 100 даст 17,28. После второго деления получится 0,1728. Третье действие даст ответ 0,001728 м 3 . Это и есть ответ задачи: объем куба равен 0,001728 м 3 .
Задача вторая. Имеется куб с площадью всей его поверхности, равной 600 дм 2 . Найти объем фигуры и выразить его в кубических метрах.
Для ответа на вопрос этого задания будет нужна формула номер 7. Первым действием известное число делится на 6. В ответе получается 100. Из него легко извлечь квадратный корень, он будет равен 10. Теперь десятку нужно возвести в куб. Так получается, что искомая величина равна 1000 дм 3 . Осталось перевести его в м 3 . Как и в предыдущей задаче, деление будет выполняться три раза, только делителем будет 10. Потому что в одном метре десять дециметров. После деления получается ответ равный 1 м 3 . Ответ: объем равен 1 м 3 .
Задача третья. Дан куб с длиной диагонали его грани, равной √2 мм. Нужно вычислить объем.
Восьмая формула поможет в том, как найти ответ в этой задаче. Первым делом нужно возвести в куб известную величину. Квадратный корень из 2 в третьей степени даст значение 2√2. После умножения на √2 получится число 4. Последним действием нужно его разделить на 4. Ответ: объем куба 1 мм 3 .
Задача четвертая. Известно, что диагональ куба равна 3 м. Требуется вычислить его объем.
Будет просто найти ответ на эту задачу по формуле под номером 9. Величину, которая дана в условии, нужно возвести в куб. Получится 27. После его деления на 9 ответ станет равен 3. И последним действием его нужно умножить на квадратный корень из 3. Ответом задачи будет 3√3 м 3 .
Куб — удивительная фигура. Он одинаковый со всех сторон. Любая его грань может вмиг стать основанием или боковой. И от этого ничего не изменится. А формулы для него всегда легко запоминаются. И неважно, что нужно найти - объем или площадь поверхности куба. В последнем случае даже не нужно учить что-то новое. Достаточно помнить только формулу площади квадрата.
Что такое площадь?
Эту величину принято обозначать латинской буквой S. Причем это справедливо для школьных предметов, таких как физика и математика. Измеряется она в квадратных единицах длины. Все зависит от данных в задаче величин. Это могут быть мм, см, м или км в квадрате. Причем возможны случаи, когда единицы даже не указаны. Идет речь просто о числовом выражении площади без наименования.
Так что же такое площадь? Это величина, которая является числовой характеристикой рассматриваемой фигуры или объемного тела. Она показывает размер ее поверхности, которая ограничена сторонами фигуры.
Какая фигура называется кубом?
Эта фигура является многогранником. Причем непростым. Он правильный, то есть у него все элементы равны друг другу. Будь то стороны или грани. Каждая поверхность куба представляет собой квадрат.
Другое название куба — правильный гексаэдр, если по-русски, то шестигранник. Он может быть образован из четырехугольной призмы или параллелепипеда. При соблюдении условия, когда все ребра равны и углы образуют 90 градусов.
Эта фигура настолько гармонична, что часто используется в быту. Например, первые игрушки малыша — кубики. А забава для тех, кто постарше, — кубик Рубика.
Как связан куб с другими фигурами и телами?
Если начертить сечение куба, которое проходит через три его грани, то оно будет иметь вид треугольника. По мере удаления от вершины сечение будет все больше. Настанет момент, когда пересекаться будут уже 4 грани, и фигура в сечении станет четырехугольником. Если провести сечение через центр куба так, чтобы оно было перпендикулярно его главным диагоналям, то получится правильный шестиугольник.
Внутри куба можно начертить тетраэдр (треугольную пирамиду). За вершину тетраэдра берется один из его углов. Остальные три совпадут с вершинами, которые лежат на противоположных концах ребер выбранного угла куба.
В него можно вписать октаэдр (выпуклый правильный многогранник, который похож на две соединенные пирамиды). Для этого нужно найти центры всех граней куба. Они будут вершинами октаэдра.
Возможна и обратная операция, то есть внутрь октаэдра реально вписать куб. Только теперь центры граней первого станут вершинами для второго.
Метод 1: вычисление площади куба по его ребру
Для того чтобы вычислить всю площадь поверхности куба, потребуется знание одного из его элементов. Самый простой способ решения, когда известно его ребро или, другими словами, сторона квадрата, из которого он состоит. Обычно эта величина обозначается латинской буквой «а».
Теперь нужно вспомнить формулу, по которой вычисляется площадь квадрата. Чтобы не запутаться, введено ее обозначение буквой S 1 .
Для удобства лучше задать номера всем формулам. Эта будет первой.
Но это площадь только одного квадратика. Всего их шесть: 4 по бокам и 2 снизу и сверху. Тогда площадь поверхности куба вычисляется по такой формуле: S = 6 * a 2 . Ее номер 2.
Метод 2: как вычислить площадь, если известен объем тела
Из математического выражения для объема гексаэдра выводится то, по которому можно сосчитать длину ребра. Вот она:
Нумерация продолжается, и здесь уже цифра 3.
Теперь его можно вычислить и подставить во вторую формулу. Если действовать по нормам математики, то нужно вывести такое выражение:
Это формула площади всей поверхности куба, которой можно воспользоваться, если известен объем. Номер этой записи 4.
Метод 3: расчет площади по диагонали куба
Это формула №5.
Из нее легко вывести выражение для ребра куба:
Это шестая формула. После его вычисления можно снова воспользоваться формулой под вторым номером. Но лучше записать такую:
Она оказывается пронумерованной цифрой 7. Если внимательно посмотреть, то можно заметить, что последняя формула удобнее, чем поэтапный расчет.
Метод 4: как воспользоваться радиусом вписанной или описанной окружности для вычисления площади куба
Если обозначить радиус описанной около гексаэдра окружности буквой R, то площадь поверхности куба будет легко вычислить по такой формуле:
Ее порядковый номер 8. Она легко получается благодаря тому, что диаметр окружности полностью совпадает с главной диагональю.
Обозначив радиус вписанной окружности латинской буквой r, можно получить такую формулу для площади всей поверхности гексаэдра:
Это формула №9.
Несколько слов о боковой поверхности гексаэдра
Если в задаче требуется найти площадь боковой поверхности куба, то нужно воспользоваться уже описанным выше приемом. Когда уже дано ребро тела, то просто площадь квадрата нужно умножить на 4. Эта цифра появилась из-за того, что боковых граней у куба всего 4. Математическая запись этого выражения такая:
Ее номер 10. Если даны какие-то другие величины, то поступают аналогично описанным выше методам.
Примеры задач
Условие первой. Известна площадь поверхности куба. Она равна 200 см². Необходимо вычислить главную диагональ куба.
1 способ. Нужно воспользоваться формулой, которая обозначена цифрой 2. Из нее будет несложно вывести «а». Эта математическая запись будет выглядеть как квадратный корень из частного, равного S на 6. После подстановки чисел получается:
а = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (см).
Пятая формула позволяет сразу вычислить главную диагональ куба. Для этого нужно значение ребра умножить на √3. Это просто. В ответе получается, что диагональ равна 10 см.
2 способ. На случай если забылась формула для диагонали, но помнится теорема Пифагора.
Аналогично тому, как было в первом способе, найти ребро. Потом нужно записать теорему для гипотенузы два раза: первую для треугольника на грани, вторую для того, который содержит искомую диагональ.
х² = а² + а², где х — диагональ квадрата.
d² = х² + а² = а² + а² + а² = 3 а². Из этой записи легко видно, как получается формула для диагонали. А дальше все расчеты будут, как в первом способе. Он немножко длиннее, но позволяет не запоминать формулу, а получить ее самостоятельно.
Ответ: диагональ куба равна 10 см.
Условие второй. По известной площади поверхности, которая равна 54 см 2 , вычислить объем куба.
Пользуясь формулой под вторым номером, нужно узнать значение ребра куба. То, как это делается, подробно описано в первом способе решения предыдущей задачи. Проведя все вычисления, получим, что а = 3 см.
Теперь нужно воспользоваться формулой для объема куба, в которой длина ребра возводится в третью степень. Значит, объем будет считаться так: V = 3 3 = 27 см 3 .
Ответ: объем куба равен 27 см 3 .
Условие третьей. Требуется найти ребро куба, для которого выполняется следующее условие. При увеличении ребра на 9 единиц площадь всей поверхности увеличивается на 594.
Поскольку явных чисел в задаче не дано, только разности между тем, что было, и тем, что стало, то нужно ввести дополнительные обозначения. Это несложно. Пусть искомая величина будет равна «а». Тогда увеличенное ребро куба будет равно (а + 9).
Зная это, нужно записать формулу для площади поверхности куба два раза. Первая - для начального значения ребра - совпадет с той, которая пронумерована цифрой 2. Вторая будет немного отличаться. В ней вместо «а» нужно записать сумму (а + 9). Так как в задаче идет речь о разности площадей, то нужно вычесть из большей площади меньшую:
6 * (а + 9) 2 - 6 * а 2 = 594.
Нужно провести преобразования. Сначала вынести за скобку 6 в левой части равенства, а потом упростить то, что останется в скобках. А именно (а + 9) 2 - а 2 . Здесь записана разность квадратов, которую можно преобразовать так: (а + 9 - а)(а + 9 + а). После упрощения выражения получается 9(2а + 9).
Теперь его нужно умножить на 6, то есть то число, что было перед скобкой, и приравнять к 594: 54(2а + 9) = 594. Это линейное уравнение с одной неизвестной. Его легко решить. Сначала нужно раскрыть скобки, а потом перенести в левую часть равенства слагаемое с неизвестной величиной, а числа — в правую. Получится уравнение: 2а = 2. Из него видно, что искомая величина равна 1.
Объем V куба (гексаэдра) со стороной a равен величине этой стороны, возведенной в третью степень: V = a3 . Объем куба находят перемножая площади квадрата a2 , лежащего в его основании на высоту куба a .
Видеоурок по вычислению объема куба (с отметки 2:29).
Поскольку объем куба вычисляют как третью степень его стороны, возведение в третью степень называют возведением в куб , а получаемый при этом результат — кубом исходной величины.
Объем куба можно также выразить через величину его большой диагонали D и дианонали d его квадратной грани:
V = a3 = d3/2·√(2) = d3/3·√(3).
Площадь поверхности S куба со стороной a равна сумме площадей шести его квадратных граней, каждая из которых равна a2 . Таким образом, плошадь куба S = 6a2 .
Суммарная длина ребер куба L = 12a , поскольку у куба 12 ребер, каждое длиной a .
У кого именины 3 февраля
Именины — это день памяти святого, чьё имя было дано человеку при крещении. Если неизвестно, имя какого из одноименных святых носит то или иное лицо, то согласно традиции, следует считать «своим» того святого, чья память в календаре приходится на сам день рождения или следует за днем рождения. Поэтому, нес
Какова биография Романовой Екатерины Алексеевны (Екатерины II)
Родилась София Фредерика Августа Ангальт-Цербстская 21 апреля (2 мая) 1729 года в немецком померанском городе Штеттин (ныне Щецин в Польше). Отец происходил из цербст-дорнбургской линии ангальтского дома и состоял на службе у прусского короля, был полковым командиром, комендантом, затем губернатором города Штеттина, баллотировался в Курляндские герцоги, но неудачно, служ
Какой официальный сайт Министерства иностранных дел Азербайджанской Республики
Официальный сайт Министерства иностранных дел Азербайджанской Республики: mfa.gov.az — сайт государственного органа исполнительной власти, разрабатывающего и осуществляющего политику Правительства Азербайджанской Республики в области внешней политики; организующего дипломатическую службу и руководящего ею в пределах своих полномочий. На сайте нет поддер
Когда не ставятся запятые в предложениях со словом «как»
Сравнительные обороты и другие конструкции со словом «как» В средней школе учащиеся часто допускают пунктуационные ошибки в конструкциях, присоединяемых словом «как». Ситуацию с трудностью усвоения данной темы усугубляет тот факт, что большинство авторов пособий для школьников любую конструкцию со словом &laq
Что такое скорость оседания эритроцитов
Скорость оседания эритроцитов (СОЭ) - неспецифический лабораторный показатель крови, отражающий соотношение фракций белков плазмы; изменение СОЭ может служить косвенным признаком текущего воспалительного или иного патологического процесса. СОЭ - скорость оседания эритроцитов (скорость образования столбика плазмы, свободного от эритроцитов, в вертикальном капилл
Приставка — морфема, которая стоит перед корнем и обычно служит для образования новых слов. Как найти приставку в слове Чтобы найти приставку в слове, надо подобрать однокоренные слова и найти в них общую часть — корень, а та морфема, которая будет находиться перед корнем, и будет приставкой. Например, 1) в слове переменка выделяется
Что такое IQ
Интеллект — это мыслительные способности человека, уровень умственного развития, определяющий его деятельность, умение приобретать новые познания и эффективно их применять в повседневной деятельности. Для количественной оценки уровня умственных способностей психологи ввели понятие IQ (англ. Intelligence Quotient) — коэффиц
Какие события происходили 18 ноября
18 ноября — 322-й день года (323-й в високосные годы) в григорианском календаре. До конца года остаётся 43 дня.Праздники 18 ноября Национальные Латвия — День независимости. Религиозные В православной церкви: память мучеников Галактиона и Епистимии (III век); память святителя Ионы, архиепископа
Что такое аквапарк
Аквапарк — развлекательный комплекс, в котором имеется инфраструктура для занятия играми на воде и водные аттракционы, такие как водяные горки, поливалки, бассейны с вышкой, фонтаны, «ленивая река» и другие. Более современные аквапарки могут быть оснащены приспособлениями для искусственного нагнетания волн в бассейне и занятий особым вид
Какими свойствами обладает фундук
Полезные свойства фундука Плод ломбардского ореха содержит примерно 60% масла, состоящего из органических кислот. Также в нем до 20% белка, есть витамины В и Е, минеральные вещества - калий, кальций, железо, магний и другие. Судя по составу ореха, он очень полезен в детском и диетическом питании, а также хорошо подойдет для людей, истощенных пос
Как ухаживать за криптантусом
Криптантус Cryptanthus Семейство: бромелиевые — Bromeliaceae. Легкость выращивания: для начинающего. Родина — Восточная Бразилия. Известно более 25 видов низкорослых, бесстебельных, травянистых растений. Широкие листья с волнистыми краями собраны в прикорневую розетку. Существует множество
