Уравнение прямой проходящей через две точки. В статье " " я обещал вам разобрать второй способ решения представленных задач на нахождение производной, при данном графике функции и касательной к этому графику. Этот способ мы разберём в , не пропустите! Почему в следующей?
Дело в том, что там будет использоваться формула уравнения прямой. Конечно, можно было бы просто показать данную формулу и посоветовать вам её выучить. Но лучше объяснить – от куда она исходит (как выводится). Это необходимо! Если вы её забудете, то быстро восстановить её
не представит труда. Ниже подробно всё изложено. Итак, у нас на координатной плоскости имеется две точки А
(х 1 ;у 1) и В(х 2 ;у 2), через указанные точки проведена прямая:
Вот сама формула прямой:
*То есть при подстановке конкретных координат точек мы получим уравнение вида y=kx+b.
**Если данную формулу просто «зазубрить», то имеется большая вероятность запутаться с индексами при х . Кроме того, индексы могут обозначаться по разному, например:
Поэтому-то и важно понимать смысл.
Теперь вывод этой формулы. Всё очень просто!
Треугольники АВЕ и ACF подобны по острому углу (первый признак подобия прямоугольных треугольников). Из этого следует, что отношения соответственных элементов равны, то есть:
Теперь просто выражаем данные отрезки через разность координат точек:
Конечно, не будет никакой ошибки если вы запишите отношения элементов в другом порядке (главное соблюдать соответствие):
В результате получится одно и тоже уравнение прямой. Это всё!
То есть, как бы не были обозначены сами точки (и их координаты), понимая данную формулу вы всегда найдёте уравнение прямой.
Формулу можно вывести используя свойства векторов, но принцип вывода будет тот же, так как речь будет идти о пропорциональности их координат. В этом случае работает всё то же подобие прямоугольных треугольников. На мой взгляд описанный выше вывод более понятнее)).
Посмотреть вывод через координаты векторов >>>
Пусть на координатной плоскости построена прямая, проходящая через две заданные точки А(х 1 ;у 1) и В(х 2 ;у 2). Отметим на прямой произвольную точку С с координатами (x ; y ). Также обозначим два вектора:
Известно, что у векторов лежащих на параллельных прямых (либо на одной прямой), их соответствующие координаты пропорциональны, то есть:
— записываем равенство отношений соответствующих координат:
Рассмотрим пример:
Найти уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (2;5) и (7:3).
Можно даже не строить саму прямую. Применяем формулу:
Важно, чтобы вы уловили соответствие, при составлении соотношения. Вы не ошибётесь, если запишите:
Ответ: у=-2/5x+29/5 иди у=-0,4x+5,8
Для того, чтобы убедится, что полученное уравнение найдено верно, обязательно делайте проверку — подставьте в него координаты данных в условии точек. Должны получится верные равенства.
На этом всё. Надеюсь, материал был вам полезен.
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Свойства прямой в евклидовой геометрии.
Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются
параллельными (следует из предыдущего).
В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:
- прямые пересекаются;
- прямые параллельны;
- прямые скрещиваются.
Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия
задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).
Общее уравнение прямой.
Определение . Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим
уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:
. C = 0, А ≠0, В ≠ 0 - прямая проходит через начало координат
. А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0} - прямая параллельна оси Ох
. В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} - прямая параллельна оси Оу
. В = С = 0, А ≠0 - прямая совпадает с осью Оу
. А = С = 0, В ≠0 - прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких - либо заданных
начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение . В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)
перпендикулярен прямой, заданной уравнением
Ах + Ву + С = 0.
Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).
Решение . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х - у + С = 0. Для нахождения коэффициента С
подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 - 2 + C = 0, следовательно
С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х - у - 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой ,
проходящей через эти точки:
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На
плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х 1 ≠ х 2 и х = х 1 , если х 1 = х 2 .
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой .
Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение . Применяя записанную выше формулу, получаем:
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить 
, то полученное уравнение называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание
прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение . Каждый ненулевой вектор (α 1 , α 2) , компоненты которого удовлетворяют условию
Аα 1 + Вα 2 = 0 называется направляющим вектором прямой.
Ах + Ву + С = 0.
Пример . Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Решение . Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,
коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.
при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3 , т.е. искомое уравнение:
х + у - 3 = 0
Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на -С, получим:
или , где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения
прямой с осью Ох, а b - координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример . Задано общее уравнение прямой х - у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
С = 1, , а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0
разделить на число 
, которое называется
нормирующем множителем , то получим
xcosφ + ysinφ - p = 0 - нормальное уравнение прямой .
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0.
р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,
а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример . Дано общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0 . Требуется написать различные типы уравнений
этой прямой.
Уравнение этой прямой в отрезках :
Уравнение этой прямой с угловым коэффициентом : (делим на 5)
Уравнение прямой :
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые,
параллельные осям или проходящие через начало координат.
Угол между прямыми на плоскости.
Определение . Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми
будет определяться как
Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны,
если k 1 = -1/ k 2 .
Теорема .
Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты
А 1 = λА, В 1 = λВ . Если еще и С 1 = λС , то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых
находятся как решение системы уравнений этих прямых.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.
Определение . Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b
представляется уравнением:
Расстояние от точки до прямой.
Теорема . Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется как:
Доказательство . Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную
прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1 :
(1)
Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы - это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно
заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Теорема доказана.
Уравнение параболы является квадратичной функцией. Существует несколько вариантов составления этого уравнения. Все зависит от того, какие параметры представлены в условии задачи.
Инструкция
Парабола представляет собой кривую, которая по своей форме напоминает дугу и является графиком степенной функции. Независимо от того, характеристики имеет парабола, эта является четной. Четной называется такая функция, у при всех значениях аргумента из определения при изменении знака аргумента значение не изменяется:f(-x)=f(x)Начните с самой простую функции: y=x^2. Из ее вида можно сделать вывод, что она как при положительных, так и при отрицательных значениях аргумента x. Точка, в которой x=0, и при этом, y =0 считается точкой .
Ниже приведены все основные варианты построения этой функции и ее . В качестве первого примера ниже рассмотрена функция вида:f(x)=x^2+a, где a - целое числоДля того, чтобы построить график данной функции, необходимо сдвинуть график функции f(x) на a единиц. Примером может служить функция y=x^2+3, где вдоль оси y сдвигают функцию на две единицы. Если дана функция с противоположным знаком, например y=x^2-3, то ее график сдвигают вниз по оси y.
Еще один вид функции, которой может быть задана парабола - f(x)=(x +a)^2. В таких случаях график, наоборот, сдвигается вдоль оси абсцисс (оси x) на a единиц. Для примера можно рассмотреть функции: y=(x +4)^2 и y=(x-4)^2. В первом случае, где имеется функция со знаком плюс, график сдвигают по оси x влево, а во втором случае - вправо. Все эти случаи показаны на рисунке.
Пусть прямая проходит через точки М 1 (х 1 ; у 1) и М 2 (х 2 ; у 2). Уравнение прямой, проходящей через точку М 1 , имеет вид у- у 1 = k (х - х 1), (10.6)
где k - пока неизвестный коэффициент.
Так как прямая проходит через точку М 2 (х 2 у 2), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (10.6): у 2 -у 1 = k (х 2 -х 1).
Отсюда
находим
Подставляя найденное значениеk
в уравнение (10.6), получим уравнение
прямой, проходящей через точки М 1
и М 2:
Предполагается, что в этом уравнении х 1 ≠ х 2 , у 1 ≠ у 2
Если х 1 = х 2 , то прямая, проходящая через точки М 1 (х 1 ,у I) и М 2 (х 2 ,у 2) параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х = х 1 .
Если у 2 = у I , то уравнение прямой может быть записано в виде у = у 1 , прямая М 1 М 2 параллельна оси абсцисс.
Уравнение прямой в отрезках
Пусть
прямая пересекает ось Ох в точке М 1 (а;0),
а ось Оу – в точке М 2 (0;b).
Уравнение примет вид:
т.е.
.
Это уравнение называетсяуравнением
прямой в отрезках, т.к. числа а и b
указывают, какие отрезки отсекает прямая
на осях координат
.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку Мо (х О; у о) перпендикулярно данному ненулевому вектор n = (А; В).
Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у) и рассмотрим вектор М 0 М (х - х 0 ; у - у о) (см. рис.1). Поскольку векторы n и М о М перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: то есть
А(х - хо) + В(у - уо) = 0. (10.8)
Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору .
Вектор n= (А; В), перпендикулярный прямой, называется нормальным нормальным вектором этой прямой .
Уравнение (10.8) можно переписать в виде Ах + Ву + С =0 , (10.9)
где А и В координаты нормального вектора, С = -Ах о - Ву о - свободный член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой (см. рис.2).
Рис.1 Рис.2
Канонические уравнения прямой
,
Где
- координаты точки, через которую проходит
прямая, а
- направляющий вектор.
Кривые второго порядка Окружность
Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки, которая называется центром.
Каноническое
уравнение круга радиуса
R с
центром в точке
:
В частности, если
центр кола совпадает с началом координат,
то уравнение будет иметь вид:
Эллипс
Эллипсом
называется множество точек плоскости,
сумма расстояний от каждой из которых
до двух заданных точек
и
,
которые называются фокусами, есть
величина постоянная
,
большая чем расстояние между фокусами
.
Каноническое уравнение эллипса,
фокусы которого лежат на оси Ох, а начало
координат посредине между фокусами
имеет вид
г
де
a длина большой полуоси;
b– длина
малой полуоси (рис. 2).
Пусть даны две точки М 1 (х 1 ,у 1) и М 2 (х 2 ,у 2) . Запишем уравнение прямой в виде (5), где k пока неизвестный коэффициент:
Так как точка М 2
принадлежит заданной прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению (5): 
. Выражая отсюда и подставив его в уравнение (5) получим искомое уравнение:
Если 
это уравнение можно переписать в виде, более удобном для запоминания:
(6)
Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точки М 1 (1,2) и М 2 (-2,3)
Решение
. 
. Используя свойство пропорции, и выполнив необходимые преобразования, получим общее уравнение прямой:
Угол между двумя прямыми
Рассмотрим две прямые l 1 и l 2 :
l 1 : , , и
l 2 : , ,
φ- угол между ними (). Из рис.4 видно: .
 |
Отсюда 
, или
С помощью формулы (7) можно определить один из углов между прямыми. Второй угол равен .
Пример . Две прямые заданы уравнениями у=2х+3 и у=-3х+2. найти угол между этими прямыми.
Решение . Из уравнений видно, что k 1 =2, а k 2 =-3. подставляя данные значения в формулу (7), находим
. Таким образом, угол между данными прямыми равен .
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
Если прямые l 1 и l 2 параллельны, то φ=0 и tgφ=0 . из формулы (7) следует, что , откуда k 2 =k 1 . Таким образом, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.
Если прямые l 1
и l 2
перпендикулярны, то φ=π/2
, α 2 = π/2+ α 1 .
. Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.
Расстояние от точки до прямой
Теорема. Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как
Доказательство. Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1:
Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой.
Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Теорема доказана.
Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2 tgj= ; j = p/4.
Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.
Находим: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.
Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.
Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.
k= . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .
Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.
Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Если прямая параллельна плоскости проекции (h | | П 1) , то для того чтобы определить расстояние от точкиА до прямой h необходимо опустить перпендикуляр из точки А на горизонталь h .
Рассмотрим более сложный пример, когда прямая занимает общее положение. Пусть необходимо определить расстояние от точки М до прямойа общего положения.
Задача на определение расстояния между параллельными прямыми решается аналогично предыдущей. На одной прямой берется точка, из нее опускается перпендикуляр на другую прямую. Длина перпендикуляра равна расстоянию между параллельными прямыми.
Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем случае Ах 2 + 2Вху +Су 2 + 2Дх + 2Еу +F = 0,
где А, В, С, Д, Е, F – действительные числа и по крайней мере одно из чисел А 2 +В 2 +С 2 ≠0.
Окружность
Центр окружности – это геометрическое место точек в плоскости равностоящих от точки плоскости С(а,b).
Окружность задается следующим уравнением:
Где х,у – координаты произвольной точки окружности, R - радиус окружности.
Признак уравнения окружности
1. Отсутствует слагаемое с х,у
2. Равны Коэффициенты при х 2 и у 2
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек в плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости называется фокусами (постоянная величина).
Каноническое уравнение эллипса:
Х и у принадлежат эллипсу.
а – большая полуось эллипса
b – малая полуось эллипса
У эллипса 2 оси симметрии ОХ и ОУ. Оси симметрии эллипса – его оси, точка их пересечения – центр эллипса. Та ось на которой расположены фокусы, называется фокальной осью . Точка пересечения эллипса с осями – вершина эллипса.
Коэффициент сжатия (растяжения): ε = с/а – эксцентриситет (характеризует форму эллипса), чем он меньше, тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси.
Если центры эллипса находятся не в центре С(α, β)
Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек в плоскости, абсолютная величина разности расстояний, каждое из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная, отличная от ноля.
Каноническое уравнение гиперболы
Гипербола имеет 2 оси симметрии:
а – действительная полуось симметрии
b – мнимая полуось симметрии
Ассимптоты гиперболы:
Парабола
Параболой называется геометрическое место точек в плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой.
Каноническое уравнение параболы:
У 2 =2рх, где р – расстояние от фокуса до директрисы (параметр параболы)
Если вершина параболы С (α, β), то уравнение параболы (у-β) 2 =2р(х-α)
Если фокальную ось принять за ось ординат, то уравнение параболы примет вид: х 2 =2qу
