Цель урока: познакомить с понятием «смежные и вертикальные углы
Задачи:
Учебные – закрепить понятие угла, правила измерения и построения углов; на основе выделенных признаков научить объединять углы по группам; научить вести исследование с опорой на алгоритм действий, анализировать полученные данные и делать выводы; закрепить полученные на уроке знания в ходе решения задач.
Развивающие – используя возможности мультимедийной презентации и электронного учебника повысить интерес к изучаемому предмету; развивать геометрическую интуицию, умение контролировать внимание на всех этапах урока.
Воспитательные –воспитать любовь к Родине, любовь к матери, воспитать аккуратность, прилежание.
ХОД УРОКА
Организационный момент (Слайд 1 )
чтобы каждый видел и знал больше,
чем видел и знал его отец и дед»
Мы начинаем урок геометрии. У всех на столе: учебник, тетрадь, карандаш, ручка, линейка, транспортир.
(Эмоциональный настрой на урок. Стихотворение Евгения Винокурова. )
(Слайды 2)
О Петр, ведь ты построил город
Не для умерших – для живых?
Тяжелый дождь бежит за ворот
Окаменевших часовых.
Недвижимы аллеи парков.
Прямы проспекты, как стрела.
Сильней божественных монархов
Здесь геометрия была.
(Слайд 3)
Гуляют каменные финны.
Курятся трубки из бород.
Вот и построили Афины
Средь топей северных болот!
Налево львы. И львы направо.
А у заставы инвалид,
Штык держит вертикально прямо.
Как геометрия велит.
II. Подготовка к восприятию темы
Сегодня мы продолжаем наше путешествие по стране «Геометрия» и поговорим об углах. А вот о каких углах сегодня пойдет речь, мы постараемся выяснить в ходе нашего урока. Для этого мы вытащим из тайников памяти кое-что ценное и восхитимся глубокими знаниями, которые пригодятся нам сегодня на уроке. (Слайд 4 – план урока ). Для разминки я предлагаю провести «Мозговой штурм». Да, я совсем забыла сказать, что на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться. Но при этом, вы должны дать себе установку (Слайд 5) «понять и быть тем первым, который увидит ход решения и даст правильный ответ» . Каждый правильный ответ вы будите отмечать в листке контроля. Это мне поможет выставить оценки за урок. Тот кто наберет больше баллов, тот и получит лучше оценку. Никто без поощрения не останется. Итак, мы начинаем.
III. Актуализация знаний учащихся. «Мозговой штурм» (Слайд 6)
– Давайте вспомним, о какой фигуре шла речь на прошлом уроке? (На прошлом уроке мы говорили об угле)
Какая фигура называется углом? (Геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей, исходящих из одной точки, называется угол)
- Что такое вершина и стороны угла? (Общая точка называется вершиной угла, а лучи сторонами)
- )
С помощью какого инструмента измеряют углы?(Углы измеряют с помощью транспортира)
(Слайд 7
)
-
Какие это углы?
Угол, градусная мера которого меньше 90
0
, называется острым)
(Угол, градусная мера которого больше 90, но меньше 180 0 , называется тупым)
Какие углы называются прямыми?(Угол называется прямым, если он равен 90 0 )
-Как выглядит прямой угол.
Угол называется развернутым, если он равен 180 0)
(Слайд 8)
А сейчас мы решим несколько задач на вычисление градусной меры угла. Каждый выбирает себе задание по силам. Для 1 уровня- это задача на рисунке 1. Её решение мы разберем на доске, для 2 уровня задача на рисунке 2. Её я предлагаю решить самостоятельно. Те кто выберет самостоятельное решение, каждый получит плюс в карточку учета, если ответ будет верным. Кто выбирает задачу на рисунке 2, работают самостоятельно. Кто выбирает задачу на рисунке 1 и желает ее решить у доски.
Сколько углов мы видим на рисунке?(На рисунке 3 угла)
-Н азови и покажи их? (угол АОС, угол АОВ, угол ВОС )
Что мы можем сказать о градусной мере угла ВОС?(
Запишем это и найдем градусную меру угла ВОС. Запишем ответ.
Проверим наши ответы. Кто работал самостоятельно оцените свою работу, если ответы сошлись, то поставьте плюс в карточку учета.
Итак подведем итог.
(Слайд 9)
По какому признаку мы делим углы? (Углы разделяются в зависимость от величины)
Какие это углы?(О).
IV. Практическая работа исследовательского характера
– А сейчас познакомимся со второй группой углов и попробуем выяснить, по какому признаку можно ее выделить. Перед вами карточки с изображением углов. Ваша задача – выполнить следующие действия для карточки № 1.
(Слайд 10 – алгоритм действий
).
-Какой вывод сделали? (Сумма углов равна 180 градусов
)
(Слайд 11)
Как бы вы назвали эти углы?(Смежные )
По какому признаку мы выделили этот вид углов? (Этот вид углов мы выделили по взаимному расположению)
Давайте запишем определение
(Слайд 12 )
Постройте острый, прямой и тупой углы. Продолжите одну из сторон и укажите получившиеся смежные углы.
3 ученика у доски, остальные в тетради.
Для любого угла можно построить ему смежный угол? (Да)
-Повторите алгоритм действия для карточки №2.
(Слайд 13)
-Какой вывод можно сделать?.(Углы равны
)
(Слайд 14)
Как бы вы назвали данный вид углов?(Вертикальные )
-Запишем определение.
(Слайд 15)
Посмотрите на правило построения вертикальных углов и выполните построение в тетради.
(Слайд 16)
-Посмотрите на чертежи и назовите вертикальные углы
(Слайд 17)
-Вернёмся к схеме, которую мы рассматривали в начале урока, и подведем итог.
(Слайд 18)
-По каким признакам мы делим углы? (Углы делятся по величине угла и по их взаимному расположению
)
Какие углы по величине градусной меры мы знаем?(По величине градусной меры углы бывают: острые, тупые, прямые, развернутые)
Какие углы по взаимному расположению мы изучили сегодня? (По взаимному расположению углы бывают: смежные и вертикальные).
Не забывайте отмечать свои верные ответы в карточке учета.
-Как же теперь мы сформулировали тему нашего сегодняшнего урока(«Смежные и вертикальные углы» ).
Правильно. «Смежные и вертикальные углы». Посмотрите, как в Санкт-Петербурге это хорошо видно.
(Слайд 19)
V
. Физкукльтминутка.
Вы устали? Давайте отдохнём.
(Слайд 20)
1.Голова идет по кругу.
2.Руки в стороны.(Развернутый угол, прямой угол).
3.Руки с соседом. (Смежные углы).
4.Спиной к соседу.(Вертикальные углы).
V I . Работа по отработке ЗУН. Практикум
А теперь посмотрим на практике, как вы усвоили тему сегодняшнего урока.
1.Устная работа
(Слайд 21).
Запишите ответы на вопросы в тетрадь. Проверьте свои ответы. Отметьте верные ответы в карточке учета.
2.Решение задач.
А сейчас мы вновь разделимся на группы. Каждая группа выбирает себе задание по силам.
1уровень- выполняет тест на доске.
(Слайды 22, 23, 24)
2 уровень- самостоятельно решает задачи из учебника на стр. 24 №58(а, б) и №66(а). Проверить ответы можно на обратной стороне карточки, которая лежит у вас на парте.
3 уровень- выполняет тест из электронного учебного.(работа на компьютерах )
Каждый из вас может получить ещё 3 плюса.
Отметьте верные ответы в карточке учета.
Какую установку мы давали себе на урок?
(Слайд 25)
Подсчитаем плюсы. Кто набрал 10 плюсов? Вы получаете оценку «5». Кто набрал 7 плюсов? Вы получаете оценку «4». Остальные, я думаю, подучат эту тему дома и на следующем уроке получат хорошие оценки.
VI. Итоговая рефлексия
– Подошло к концу наше путешествие.
О какой фигуре мы говорили на уроке?
Что нового вы сегодня узнали на уроке?
Где в жизни мы видели смежные и вертикальные углы?
(Слайд 26)
(Слайд 27)
Если вы все поняли прикрепите цветочки с углами красного цвета к нашей корзинке, если вас, что-то заставило задуматься – жёлтого цвета и если остались вопросы – синего. Этот букет мы подарим нашим мамам, бабушкам, сестрам в воскресенье на день матери.
VII. Запись домашнего задания.
А сейчас запишем домашнее задание
(Слайд 28)
1.п. 11 ,вопросы 17,18.
2.Решить задачи: 1 уровень-№42,45,46 из рабочей тетради
2 уровень- № 64, № 61 (а, б) из учебника
3. Творческое задание: сочините сказку о смежных и вертикальных углах.
– Спасибо всем за урок!
(Слайд 29 )
1)– Давайте вспомним, о какой фигуре шла речь на прошлом уроке? (Об угле)
-
Назовите единицу измерения углов?(За единицу измерения углов принимают градус
)
– Что называется градусной мерой угла?(Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладывается в данном угле
)
– По какому признаку мы разделим углы на группы? (В зависимости от величины угла)
- Какие это углы? (Острый, тупой, прямой, развернутый)
– Какие углы называются острыми? (Угол градусная мера которого меньше 90 0 )
Выберите его изображение из предложенных вам вариантов углов.
Какие углы называются тупыми? (Угол градусная мера которого больше 90, но меньше 180 0 )
Покажите изображение тупого угла.
Какие углы называются прямыми?(Угол в 90 0)
-Как выглядит прямой угол.
Какие углы называются развернутыми?( (Угол градусная мера которого равна 180 0)
-Как построить развернутый угол? (Провести прямую, отметить вершину, подписать стороны )
2)-Что мы можем сказать о градусной мере угла ВОС?(Его градусная мера равна разности градусных мер углов АОС и АОВ)
Почему?(Луч ОВ делит угол АОС на два угла: АОВ и ВОС)
- Сколько получим?(49 0 )
- Что мы скажем про угол СОN?(Его градусная мера равна 180 0 минус градусная мера угла АОС и минус градусная мера угла BON )
- Почему 180 0 минус?(Потому что угол АОВ- развернутый угол и его градусная мера равна 180 0 )
Сколько получаем?(94 0 )
Итак подведем итог. Углы, в зависимости от величины угла, делятся: на какие?(Острые, тупые, прямые и развернутые ).
3)Углы, в зависимости от величины угла, делятся: (на острые, тупые, прямые и развернутые ). В зависимости от их взаимного расположения на (смежные и вертикальные).
Тема урока: «Смежные и вертикальные углы.»Цель урока: познакомить с понятием «смежные и вертикальные углы
Задачи:
Учебные – закрепить понятие угла, правила измерения и построения углов; на основе выделенных признаков научить объединять углы по группам; научить вести исследование с опорой на алгоритм действий, анализировать полученные данные и делать выводы; закрепить полученные на уроке знания в ходе решения задач.
Развивающие – используя возможности мультимедийной презентации и электронного учебника повысить интерес к изучаемому предмету; развивать геометрическую интуицию, умение контролировать внимание на всех этапах урока.
Воспитательные –воспитать любовь к Родине, любовь к матери, воспитать аккуратность, прилежание.
ХОД УРОКА
Организационный момент (Слайд 1 )
чтобы каждый видел и знал больше,
чем видел и знал его отец и дед»
Мы начинаем урок геометрии. У всех на столе: учебник, тетрадь, карандаш, ручка, линейка, транспортир.
(Эмоциональный настрой на урок. Стихотворение Евгения Винокурова. )
(Слайды 2)
О Петр, ведь ты построил город
Не для умерших – для живых?
Тяжелый дождь бежит за ворот
Окаменевших часовых.
Недвижимы аллеи парков.
Прямы проспекты, как стрела.
Сильней божественных монархов
Здесь геометрия была.
(Слайд 3)
Гуляют каменные финны.
Курятся трубки из бород.
Вот и построили Афины
Средь топей северных болот!
Налево львы. И львы направо.
А у заставы инвалид,
Штык держит вертикально прямо.
Как геометрия велит.
II. Подготовка к восприятию темы
Сегодня мы продолжаем наше путешествие по стране «Геометрия» и поговорим об углах. А вот о каких углах сегодня пойдет речь, мы постараемся выяснить в ходе нашего урока. Для этого мы вытащим из тайников памяти кое-что ценное и восхитимся глубокими знаниями, которые пригодятся нам сегодня на уроке. (Слайд 4 – план урока ). Для разминки я предлагаю провести «Мозговой штурм». Да, я совсем забыла сказать, что на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться. Но при этом, вы должны дать себе установку (Слайд 5) «понять и быть тем первым, который увидит ход решения и даст правильный ответ» . Каждый правильный ответ вы будите отмечать в листке контроля. Это мне поможет выставить оценки за урок. Тот кто наберет больше баллов, тот и получит лучше оценку. Никто без поощрения не останется. Итак, мы начинаем.
III. Актуализация знаний учащихся. «Мозговой штурм» (Слайд 6)
– Давайте вспомним, о какой фигуре шла речь на прошлом уроке? (На прошлом уроке мы говорили об угле)
Какая фигура называется углом? (Геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей, исходящих из одной точки, называется угол)
- Что такое вершина и стороны угла? (Общая точка называется вершиной угла, а лучи сторонами)
- )
С помощью какого инструмента измеряют углы?(Углы измеряют с помощью транспортира)
(Слайд 7
)
-
Какие это углы?
Угол, градусная мера которого меньше 90
0
, называется острым)
(Угол, градусная мера которого больше 90, но меньше 180 0 , называется тупым)
Какие углы называются прямыми?(Угол называется прямым, если он равен 90 0 )
-Как выглядит прямой угол.
Угол называется развернутым, если он равен 180 0)
(Слайд 8)
А сейчас мы решим несколько задач на вычисление градусной меры угла. Каждый выбирает себе задание по силам. Для 1 уровня- это задача на рисунке 1. Её решение мы разберем на доске, для 2 уровня задача на рисунке 2. Её я предлагаю решить самостоятельно. Те кто выберет самостоятельное решение, каждый получит плюс в карточку учета, если ответ будет верным. Кто выбирает задачу на рисунке 2, работают самостоятельно. Кто выбирает задачу на рисунке 1 и желает ее решить у доски.
Сколько углов мы видим на рисунке?(На рисунке 3 угла)
-Н азови и покажи их? (угол АОС, угол АОВ, угол ВОС )
Что мы можем сказать о градусной мере угла ВОС?(
Запишем это и найдем градусную меру угла ВОС. Запишем ответ.
Проверим наши ответы. Кто работал самостоятельно оцените свою работу, если ответы сошлись, то поставьте плюс в карточку учета.
Итак подведем итог.
(Слайд 9)
По какому признаку мы делим углы? (Углы разделяются в зависимость от величины)
Какие это углы?(О).
IV. Практическая работа исследовательского характера
– А сейчас познакомимся со второй группой углов и попробуем выяснить, по какому признаку можно ее выделить. Перед вами карточки с изображением углов. Ваша задача – выполнить следующие действия для карточки № 1.
(Слайд 10 – алгоритм действий
).
-Какой вывод сделали? (Сумма углов равна 180 градусов
)
(Слайд 11)
Как бы вы назвали эти углы?(Смежные )
По какому признаку мы выделили этот вид углов? (Этот вид углов мы выделили по взаимному расположению)
Давайте запишем определение
(Слайд 12 )
Постройте острый, прямой и тупой углы. Продолжите одну из сторон и укажите получившиеся смежные углы.
3 ученика у доски, остальные в тетради.
Для любого угла можно построить ему смежный угол? (Да)
-Повторите алгоритм действия для карточки №2.
(Слайд 13)
-Какой вывод можно сделать?.(Углы равны
)
(Слайд 14)
Как бы вы назвали данный вид углов?(Вертикальные )
-Запишем определение.
(Слайд 15)
Посмотрите на правило построения вертикальных углов и выполните построение в тетради.
(Слайд 16)
-Посмотрите на чертежи и назовите вертикальные углы
(Слайд 17)
-Вернёмся к схеме, которую мы рассматривали в начале урока, и подведем итог.
(Слайд 18)
-По каким признакам мы делим углы? (Углы делятся по величине угла и по их взаимному расположению
)
Какие углы по величине градусной меры мы знаем?(По величине градусной меры углы бывают: острые, тупые, прямые, развернутые)
Какие углы по взаимному расположению мы изучили сегодня? (По взаимному расположению углы бывают: смежные и вертикальные).
Не забывайте отмечать свои верные ответы в карточке учета.
-Как же теперь мы сформулировали тему нашего сегодняшнего урока(«Смежные и вертикальные углы» ).
Правильно. «Смежные и вертикальные углы». Посмотрите, как в Санкт-Петербурге это хорошо видно.
(Слайд 19)
V
. Физкукльтминутка.
Вы устали? Давайте отдохнём.
(Слайд 20)
1.Голова идет по кругу.
2.Руки в стороны.(Развернутый угол, прямой угол).
3.Руки с соседом. (Смежные углы).
4.Спиной к соседу.(Вертикальные углы).
V I . Работа по отработке ЗУН. Практикум
А теперь посмотрим на практике, как вы усвоили тему сегодняшнего урока.
1.Устная работа
(Слайд 21).
Запишите ответы на вопросы в тетрадь. Проверьте свои ответы. Отметьте верные ответы в карточке учета.
2.Решение задач.
А сейчас мы вновь разделимся на группы. Каждая группа выбирает себе задание по силам.
1уровень- выполняет тест на доске.
(Слайды 22, 23, 24)
2 уровень- самостоятельно решает задачи из учебника на стр. 24 №58(а, б) и №66(а). Проверить ответы можно на обратной стороне карточки, которая лежит у вас на парте.
3 уровень- выполняет тест из электронного учебного.(работа на компьютерах )
Каждый из вас может получить ещё 3 плюса.
Отметьте верные ответы в карточке учета.
Какую установку мы давали себе на урок?
(Слайд 25)
Подсчитаем плюсы. Кто набрал 10 плюсов? Вы получаете оценку «5». Кто набрал 7 плюсов? Вы получаете оценку «4». Остальные, я думаю, подучат эту тему дома и на следующем уроке получат хорошие оценки.
VI. Итоговая рефлексия
– Подошло к концу наше путешествие.
О какой фигуре мы говорили на уроке?
Что нового вы сегодня узнали на уроке?
Где в жизни мы видели смежные и вертикальные углы?
(Слайд 26)
(Слайд 27)
Если вы все поняли прикрепите цветочки с углами красного цвета к нашей корзинке, если вас, что-то заставило задуматься – жёлтого цвета и если остались вопросы – синего. Этот букет мы подарим нашим мамам, бабушкам, сестрам в воскресенье на день матери.
VII. Запись домашнего задания.
А сейчас запишем домашнее задание
(Слайд 28)
1.п. 11 ,вопросы 17,18.
2.Решить задачи: 1 уровень-№42,45,46 из рабочей тетради
2 уровень- № 64, № 61 (а, б) из учебника
3. Творческое задание: сочините сказку о смежных и вертикальных углах.
– Спасибо всем за урок!
(Слайд 29 )
1)– Давайте вспомним, о какой фигуре шла речь на прошлом уроке? (Об угле)
-
Назовите единицу измерения углов?(За единицу измерения углов принимают градус
)
– Что называется градусной мерой угла?(Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладывается в данном угле
)
– По какому признаку мы разделим углы на группы? (В зависимости от величины угла)
- Какие это углы? (Острый, тупой, прямой, развернутый)
– Какие углы называются острыми? (Угол градусная мера которого меньше 90 0 )
Выберите его изображение из предложенных вам вариантов углов.
Какие углы называются тупыми? (Угол градусная мера которого больше 90, но меньше 180 0 )
Покажите изображение тупого угла.
Какие углы называются прямыми?(Угол в 90 0)
-Как выглядит прямой угол.
Какие углы называются развернутыми?( (Угол градусная мера которого равна 180 0)
-Как построить развернутый угол? (Провести прямую, отметить вершину, подписать стороны )
2)-Что мы можем сказать о градусной мере угла ВОС?(Его градусная мера равна разности градусных мер углов АОС и АОВ)
Почему?(Луч ОВ делит угол АОС на два угла: АОВ и ВОС)
- Сколько получим?(49 0 )
- Что мы скажем про угол СОN?(Его градусная мера равна 180 0 минус градусная мера угла АОС и минус градусная мера угла BON )
- Почему 180 0 минус?(Потому что угол АОВ- развернутый угол и его градусная мера равна 180 0 )
Сколько получаем?(94 0 )
Итак подведем итог. Углы, в зависимости от величины угла, делятся: на какие?(Острые, тупые, прямые и развернутые ).
3)Углы, в зависимости от величины угла, делятся: (на острые, тупые, прямые и развернутые ). В зависимости от их взаимного расположения на (смежные и вертикальные).
Г Л А В А I.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
§11. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.
1. Смежные углы.
Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (черт. 72): / А ВС и / СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие АВи ВD составляют прямую линию.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.
Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, /
АDF и /
FDВ - углы смежные (черт. 73).
Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (черт. 74).
Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 2d.
Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.
Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.
Например, если один из смежных углов равен 3 / 5 d , то второй угол будет равен:
2d - 3 / 5 d = l 2 / 5 d .
2. Вертикальные углы.
Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На чертеже 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF - также вертикальные.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.
Пусть / 1 = 7 / 8 d (черт. 76). Смежный с ним / 2 будет равен 2d - 7 / 8 d , т. е. 1 1 / 8 d .
Таким же образом можно вычислить, чему равны /
3 и /
4.
/
3 = 2d
- 1 1 / 8 d
= 7 / 8 d
; /
4 = 2d
- 7 / 8 d
= 1 1 / 8 d
(черт. 77).
Мы видим, что / 1 = / 3 и / 2 = / 4.
Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.
Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.
Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём рассуждения, путём доказательства.
Доказательство можно провести следующим образом (черт. 78):
/
a +
/
c
= 2d
;
/
b +
/
c
= 2d
;
(так как сумма смежных углов равна 2d ).
/ a + / c = / b + / c
(так как и левая часть этого равенства равна 2d , и правая его часть тоже равна 2d ).
В это равенство входит один и тот же угол с .
Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: / a = / b , т. е. вертикальные углы равны между собой.
При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, т. е. дали определение вертикальных углов.
Затем мы высказали суждение (утверждение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого суждения убедились путём доказательства. Такие суждения, справедливость которых надо доказывать, называются теоремами . Таким образом, в данном параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также высказали и доказали теорему об их свойстве.
В дальнейшем при изучении геометрии нам постоянно придётся встречаться с определениями и доказательствами теорем.
3. Сумма углов, имеющих общую вершину.
На чертеже 79 /
1, /
2, /
3 и /
4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2d
.
На чертеже 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d .
Упражнения.
1. Один из смежных углов равен 0,72 d. Вычислить угол, составленный биссектрисами этих смежных углов.
2. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.
3. Доказать, что если два угла равны, то равны и их смежные углы.
4. Сколько пар смежных углов на чертеже 81?
5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? из двух тупых углов? из прямого и тупого угла? из прямого и острого угла?
6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине смежного с ним угла?
7. Если при пересечении двух прямых линий один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трёх углов?
Геометрия - это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила.
Смежные и вертикальные углы - это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве.
Образование углов
Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла.
Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток.
Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов.
Тупым является угол, превышающий 90 градусов.
Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90.
В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым.
Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:
- Сумма таких углов будет равна 180 градусам (существует теорема, доказывающая это). Поэтому можно легко вычислить один из них, если известен другой.
- Из первого пункта следует, что смежные углы не могут быть образованы двумя тупыми или двумя острыми углами.
Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними.
Вертикальные углы
Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой.
Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого.
При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы.
Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы.
1. Смежные углы.
Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (рис. 72): ∠АВС и ∠СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие, АВ и ВD, составляют прямую линию.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.
Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, ∠АDF и ∠FDВ - углы смежные (рис. 73).
Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (рис. 74).
Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 180°
Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.
Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.
Например, если один из смежных углов равен 54°, то второй угол будет равен:
180° - 54° = l26°.
2. Вертикальные углы.
Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На рисунке 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF - также вертикальные.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.
Пусть ∠1 = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°(рис. 76). Смежный с ним ∠2 будет равен 180° - \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°, т. е. 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90°.
Таким же образом можно вычислить, чему равны ∠3 и ∠4.
∠3 = 180° - 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°;
∠4 = 180° - \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90° = 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° (рис. 77).
Мы видим, что ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4.
Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.
Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.
Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём доказательства.
Доказательство можно провести следующим образом (рис. 78):
∠a + ∠c = 180°;
∠b + ∠c = 180°;
(так как сумма смежных углов равна 180°).
∠a + ∠c = ∠b + ∠c
(так как и левая часть этого равенства равна 180°, и правая его часть тоже равна 180°).
В это равенство входит один и тот же угол с .
Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: ∠a = ∠b , т. е. вертикальные углы равны между собой.
3. Сумма углов, имеющих общую вершину.
На чертеже 79 ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.
На чертеже 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 и ∠5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.
Другие материалы
