Как приводить дроби к общему знаменателю
Если у обыкновенных дробей одинаковые знаменатели, то говорят, что эти дроби приведены к общему знаменателю .
Пример 1
Например, дроби $\frac{3}{18}$ и $\frac{20}{18}$ имеют одинаковые знаменатели. Говорят, что они имеют общий знаменатель $18$. Дроби $\frac{1}{29}$, $\frac{7}{29}$ и $\frac{100}{29}$ имеют также одинаковые знаменатели. Говорят, что они имеют общий знаменатель $29$.
Если у дробей знаменатели не одинаковые, то их можно свести к общему знаменателю. Для этого необходимо умножить их числители и знаменатели на определенные дополнительные множители.
Пример 2
Как привести две дроби $\frac{6}{11}$ и $\frac{2}{7}$ к общему знаменателю.
Решение.
Умножим дроби $\frac{6}{11}$ и $\frac{2}{7}$ на дополнительные множители $7$ и $11$ соответственно и приведем их к общему знаменателю $77$:
$\frac{6\cdot 7}{11\cdot 7}=\frac{42}{77}$
$\frac{2\cdot 11}{7\cdot 11}=\frac{22}{77}$
Таким образом, приведением дробей к общему знаменателю называют умножение числителя и знаменателя данных дробей на дополнительные множители, которые в результате позволяют получить дроби с одинаковыми знаменателями.
Общий знаменатель
Определение 1
Любое положительное общее кратное всех знаменателей некоторого набора дробей называют общим знаменателем .
Другими словами, общий знаменатель заданных обыкновенных дробей – любое натуральное число, которое можно разделить на все знаменатели заданных дробей.
Из определения вытекает бесконечное множество общих знаменателей данного набора дробей.
Пример 3
Найти общие знаменатели дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{2}{13}$.
Решение .
Данные дроби имеют знаменатели, равные $7$ и $13$ соответственно. Положительные общие кратные чисел $2$ и $5$ равны $91, 182, 273, 364$ и т.д.
Любое из этих чисел можно использовать в качестве общего знаменателя дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{2}{13}$.
Пример 4
Определить, можно ли дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{16}{7}$ и $\frac{11}{9}$ привести к общему знаменателю $252$.
Решение.
Чтобы определить, как привести дробь к общему знаменателю $252$, необходимо проверить является ли число $252$ общим кратным знаменателей $2, 7$ и $9$. Для этого разделим число $252$ на каждый из знаменателей:
$\frac{252}{2}=126,$ $\frac{252}{7}=36$, $\frac{252}{9}=28$.
Число $252$ делится нацело на все знаменатели, т.е. является общим кратным чисел $2, 7$ и $9$. Значит, данные дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{16}{7}$ и $\frac{11}{9}$ можно свести к общему знаменателю $252$.
Ответ: можно.
Наименьший общий знаменатель
Определение 2
Среди всех общих знаменателей заданных дробей можно выделить наименьшее натуральное число, которое называют наименьшим общим знаменателем .
Т.к. НОК – наименьший положительный общий делитель данного набора чисел, то НОК знаменателей заданных дробей является наименьшим общим знаменателем данных дробей.
Следовательно, чтобы найти наименьший общий знаменатель дробей, нужно найти НОК знаменателей этих дробей.
Пример 5
Заданы дроби $\frac{4}{15}$ и $\frac{37}{18}$. Найти их наименьший общий знаменатель.
Решение .
Знаменатели данных дробей равны $15$ и $18$. Найдем наименьший общий знаменатель как НОК чисел $15$ и $18$. Используем для этого разложение чисел на простые множители:
$15=3\cdot 5$, $18=2\cdot 3\cdot 3$
$НОК(15, 18)=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=90$.
Ответ: $90$.
Правило приведения дробей к наименьшему общему знаменателю
Чаще всего при решении задач алгебры, геометрии, физики и т.п. принято обыкновенные дроби приводить к наименьшему общему знаменателю, а не к любому общему знаменателю.
Алгоритм :
- С помощью НОК знаменателей заданных дробей найти наименьший общий знаменатель.
- 2.Вычислить дополнительный множитель для заданных дробей. Для этого найденный наименьший общий знаменатель необходимо разделить на знаменатель каждой дроби. Полученное число и будет дополнительным множителем данной дроби.
- Умножить на найденный дополнительный множитель числитель и знаменатель каждой дроби.
Пример 6
Найти наименьший общий знаменатель дробей $\frac{4}{16}$ и $\frac{3}{22}$ и привести к нему обе дроби.
Решение.
Воспользуемся алгоритмом приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.
Вычислим наименьшее общее кратное чисел $16$ и $22$:
Разложим знаменатели на простые множители: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, $22=2\cdot 11$.
$НОК(16, 22)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 11=176$.
Вычислим дополнительные множители для каждой дроби:
$176\div 16=11$ – для дроби $\frac{4}{16}$;
$176\div 22=8$ – для дроби $\frac{3}{22}$.
Умножим числители и знаменатели дробей $\frac{4}{16}$ и $\frac{3}{22}$ на дополнительные множители $11$ и $8$ соответственно. Получим:
$\frac{4}{16}=\frac{4\cdot 11}{16\cdot 11}=\frac{44}{176}$
$\frac{3}{22}=\frac{3\cdot 8}{22\cdot 8}=\frac{24}{176}$
Обе дроби приведены к наименьшему общему знаменателю $176$.
Ответ: $\frac{4}{16}=\frac{44}{176}$, $\frac{3}{22}=\frac{24}{176}$.
Иногда для того, чтобы находить наименьший общий знаменатель, нужно провести ряд трудоемких вычислений, что может не оправдывать цель решения задачи. В таком случае можно воспользоваться наиболее простым способ – свести дроби к общему знаменателю, который представляет собой произведение знаменателей данных дробей.
ПРИВЕСТИ К ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ.
Книжн. Уничтожать различия, уравнивать.
Фразеологический словарь русского литературного языка. - М.: Астрель, АСТ . А. И. Фёдоров . 2008 .
Смотреть что такое "Привести к общему знаменателю" в других словарях:
привести к одному знаменателю - Привести/ к одному (к общему) знаменателю Уравнять, сделать сходным в каком л. отношении … Словарь многих выражений
ПРИВОДИТЬ К ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ. ПРИВЕСТИ К ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ. Книжн. Уничтожать различия, уравнивать … Фразеологический словарь русского литературного языка
Приводить/ привести к общему (одному, единому) знаменателю - кого, что. Книжн. или Публ. 1. Уничтожать различия между кем л., чем л., уравнивать кого л., что л. в каком л. отношении., ставить кого л., что л. в одинаковое положение. 2. Нов. Дисциплинировать членов коллектива, уравнивать их в правах. ФСРЯ,… … Большой словарь русских поговорок
привести - веду, ведёшь; привёл, вела, ло; приведший; приведённый; дён, дена, о; приведя; св. 1. кого. Ведя, доставить, помочь прийти куда л. П. ребёнка домой. П. корову к ветеринару. Пришёл сам и привёл с собой друзей. П. девушку в дом, в семью (жениться,… … Энциклопедический словарь
ПРИВОДИТЬ К ОДНОМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ. ПРИВЕСТИ К ОДНОМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ. Книжн. То же, что Приводить к общему знаменателю. Все [картины и скульптуры] имели один и тот же смысл. Всё представлялось приведённым к одному и тому же знаменателю, парижскому (В.… … Фразеологический словарь русского литературного языка
Дробь (математика) - У этого термина существуют и другие значения, см. Дробь. 8 / 13 числитель числитель знаменатель знаменатель Две записи одной дроби Дробь в математике число, состоящее из одной или нескольких частей… … Википедия
Дробь - Если делится какое нибудь целое число а на другое целое число b, т. е. ищется число x, удовлетворяющее условию bx=а, то могут представиться два случая: или в ряду целых чисел найдется число х, которое этому условию удовлетворит, или же окажется,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
нивелировать - подвести под один ранжир, уравнять, уравнивать, приводить к одному знаменателю, стричь под одну гребенку, подгонять под один колер, снивелировать, привести к одному знаменателю, обезличивать, привести к общему знаменателю, остричь под одну… … Словарь синонимов
Изначально я хотел включить методы приведения к общему знаменателю в параграф «Сложение и вычитание дробей». Но информации оказалось так много, а важность ее столь велика (ведь общие знаменатели бывают не только у числовых дробей), что лучше изучить этот вопрос отдельно.
Итак, пусть у нас есть две дроби с разными знаменателями. А мы хотим сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. На помощь приходит основное свойство дроби, которое, напомню, звучит следующим образом:
Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.
Таким образом, если правильно подобрать множители, знаменатели у дробей сравняются - этот процесс называется приведением к общему знаменателю. А искомые числа, «выравнивающие» знаменатели, называются дополнительными множителями.
Для чего вообще надо приводить дроби к общему знаменателю? Вот лишь несколько причин:
- Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. По-другому эту операцию никак не выполнить;
- Сравнение дробей. Иногда приведение к общему знаменателю значительно упрощает эту задачу;
- Решение задач на доли и проценты. Процентные соотношения являются, по сути, обыкновенными выражениями, которые содержат дроби.
Есть много способов найти числа, при умножении на которые знаменатели дробей станут равными. Мы рассмотрим лишь три из них - в порядке возрастания сложности и, в некотором смысле, эффективности.
Умножение «крест-накрест»
Самый простой и надежный способ, который гарантированно выравнивает знаменатели. Будем действовать «напролом»: умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби, а вторую - на знаменатель первой. В результате знаменатели обеих дробей станут равными произведению исходных знаменателей. Взгляните:
В качестве дополнительных множителей рассмотрим знаменатели соседних дробей. Получим:
Да, вот так все просто. Если вы только начинаете изучать дроби, лучше работайте именно этим методом - так вы застрахуете себя от множества ошибок и гарантированно получите результат.
Единственный недостаток данного метода - приходится много считать, ведь знаменатели умножаются «напролом», и в результате могут получиться очень большие числа. Такова расплата за надежность.
Метод общих делителей
Этот прием помогает намного сократить вычисления, но, к сожалению, применяется он достаточно редко. Метод заключается в следующем:
- Прежде, чем действовать «напролом» (т.е. методом «крест-накрест»), взгляните на знаменатели. Возможно, один из них (тот, который больше), делится на другой.
- Число, полученное в результате такого деления, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем.
- При этом дробь с большим знаменателем вообще не надо ни на что умножать - в этом и заключается экономия. Заодно резко снижается вероятность ошибки.
Задача. Найдите значения выражений:
Заметим, что 84: 21 = 4; 72: 12 = 6 . Поскольку в обоих случаях один знаменатель делится без остатка на другой, применяем метод общих множителей. Имеем:
Заметим, что вторая дробь вообще нигде ни на что не умножалась. Фактически, мы сократили объем вычислений в два раза!
Кстати, дроби в этом примере я взял не случайно. Если интересно, попробуйте сосчитать их методом «крест-накрест». После сокращения ответы получатся такими же, но работы будет намного больше.
В этом и состоит сила метода общих делителей, но, повторюсь, применять его можно лишь в том случае, когда один из знаменателей делится на другой без остатка. Что бывает достаточно редко.
Метод наименьшего общего кратного
Когда мы приводим дроби к общему знаменателю, мы по сути пытаемся найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. Затем приводим к этому числу знаменатели обеих дробей.
Таких чисел очень много, и наименьшее из них совсем не обязательно будет равняться прямому произведению знаменателей исходных дробей, как это предполагается в методе «крест-накрест».
Например, для знаменателей 8 и 12 вполне подойдет число 24, поскольку 24: 8 = 3; 24: 12 = 2 . Это число намного меньше произведения 8 · 12 = 96 .
Наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей, называется их наименьшим общим кратным (НОК).
Обозначение: наименьшее общее кратное чисел a и b обозначается НОК(a ; b ) . Например, НОК(16; 24) = 48 ; НОК(8; 12) = 24 .
Если вам удастся найти такое число, итоговый объем вычислений будет минимальным. Посмотрите на примеры:
Задача. Найдите значения выражений:
Заметим, что 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3 . Множители 2 и 3 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), а множитель 117 - общий. Поэтому НОК(234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.
Аналогично, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4 . Множители 3 и 4 взаимно просты, а множитель 5 - общий. Поэтому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.
Теперь приведем дроби к общим знаменателям:
Обратите внимание, насколько полезным оказалось разложение исходных знаменателей на множители:
- Обнаружив одинаковые множители, мы сразу вышли на наименьшее общее кратное, что, вообще говоря, является нетривиальной задачей;
- Из полученного разложения можно узнать, каких множителей «не хватает» каждой из дробей. Например, 234 · 3 = 702 , следовательно, для первой дроби дополнительный множитель равен 3.
Чтобы оценить, насколько колоссальный выигрыш дает метод наименьшего общего кратного, попробуйте вычислить эти же примеры методом «крест-накрест». Разумеется, без калькулятора. Думаю, после этого комментарии будут излишними.
Не думайте, что таких сложных дробей в настоящих примерах не будет. Они встречаются постоянно, и приведенные выше задачи - не предел!
Единственная проблема - как найти этот самый НОК. Иногда все находится за несколько секунд, буквально «на глаз», но в целом это сложная вычислительная задача, требующая отдельного рассмотрения. Здесь мы не будем этого касаться.
У дробей бывают различные или одинаковые знаменатели. Одинаковый знаменатель или по-другому называют общий знаменатель у дроби. Пример общего знаменателя:
\(\frac{17}{5}, \frac{1}{5}\)
Пример разных знаменателей у дробей:
\(\frac{8}{3}, \frac{2}{13}\)
Как привести к общему знаменателю дроби?
У первой дроби знаменатель равен 3, у второй равен 13. Нужно найти такое число, чтобы делилось и на 3 и на 13. Это число 39.
Первую дробь нужно умножить на дополнительный множитель 13. Чтобы дробь не изменилась умножаем обязательно и числитель на 13 и знаменатель.
\(\frac{8}{3} = \frac{8 \times \color{red} {13}}{3 \times \color{red} {13}} = \frac{104}{39}\)
Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 3.
\(\frac{2}{13} = \frac{2 \times \color{red} {3}}{13 \times \color{red} {3}} = \frac{6}{39}\)
Мы привели к общему знаменателю дроби:
\(\frac{8}{3} = \frac{104}{39}, \frac{2}{13} = \frac{6}{39}\)
Наименьший общий знаменатель.
Рассмотрим еще пример:
Приведем дроби \(\frac{5}{8}\) и \(\frac{7}{12}\) к общему знаменателю.
Общий знаменатель для чисел 8 и 12 могут быть числа 24, 48, 96, 120, …, принято выбирать наименьший общий знаменатель в нашем случае это число 24.
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби.
Как найти наименьший общий знаменатель?
Методом перебора чисел, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби и выбрать из них самое наименьшее.
Нам нужно дробь со знаменателем 8 умножить на 3, а дробь со знаменателем 12 умножить на 2.
\(\begin{align}&\frac{5}{8} = \frac{5 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = \frac{15}{24}\\\\&\frac{7}{12} = \frac{7 \times \color{red} {2}}{12 \times \color{red} {2}} = \frac{14}{24}\\\\ \end{align}\)
Если у вас сразу не получиться привести дроби к наименьшему общему знаменателю в этом ничего страшного нет, в дальнейшем решая пример вам может быть придется полученный ответ
Общей знаменатель можно найти для любых двух дробей это может быть произведение знаменателей этих дробей.
Например:
Приведите дроби \(\frac{1}{4}\) и \(\frac{9}{16}\) к наименьшему общему знаменателю.
Самый простой способ найти общий знаменатель – это произведение знаменателей 4⋅16=64. Число 64 это не наименьший общий знаменатель. По заданию нужно найти именно наименьший общий знаменатель. Поэтому ищем дальше. Нам нужно число, которое делиться и на 4, и на 16, это число 16. Приведем к общему знаменателю дроби, умножим дробь со знаменателем 4 на 4, а дробь со знаменателем 16 на единицу. Получим:
\(\begin{align}&\frac{1}{4} = \frac{1 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {4}} = \frac{4}{16}\\\\&\frac{9}{16} = \frac{9 \times \color{red} {1}}{16 \times \color{red} {1}} = \frac{9}{16}\\\\ \end{align}\)
